Προβλήματα Μαθηματικών

30 Αυγούστου, 2018

Μια ταυτότητα

Filed under: Άλυτα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 12:00 μμ

Το πρόβλημα προτείνει ο Κωνσταντίνος Κουρουζίδης.

Χρησιμοποιώντας πλήρη γραφήματα και βασικές αρχές απαρίθμησης αποδείξτε ότι

\displaystyle{\binom{n}{2}=\binom{k}{2}+k(n-k)+\binom{n-k}{2}}

για k\leq n.

 

5 Σχόλια »

  1. Υπόδειξη: Χωρίστε το σύνολο κομβών του πλήρους γραφήματος με n κορυφές στα 2.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — 31 Αυγούστου, 2018 @ 10:41 πμ

  2. Το \binom{n}{2} είναι το με πόσους τρόπους από τα n αντικείμενα μπορώ να επιλέξω 2. Αν έχω n αντικείμενα και τα k είναι πράσινα ενώ τα υπόλοιπα μπλε, αν επιλέξω δύο υπάρχουν οι εξής επιλογές:

    1. και τα δύο είναι πράσινα: \binom{k}{2} τρόποι

    2. ένα πράσινο και ένα μπλε: k(n-k) τρόποι

    3. δύο μπλε: \binom{n-k}{2}

    ΥΓ πλήρη γραφήματα δεν ξέρω τί είναι αλλά υποθέτω η λογική είναι η ίδια…

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από shortmanikos — 18 Οκτωβρίου, 2019 @ 4:41 μμ

  3. Για να ορίσεις ένα γράφημα πρέπει να ορίσεις δύο σύνολα. Το σύνολο κορυφών και το σύνολο των ακμών. Συνήθως αναλογιζόμαστε τις κορυφές σα σημεία στο επίπεδο, με μια ακμή
    να είναι μια γραμμή που συνδέει δύο οποιαδήποτε κορυφές.
    Δύο οποιεσδήποτε κορυφές που είναι ενωμένες με ακμή λέμε πως βρίσκονται «σε σχέση». Πλήρες γράφημα είναι το γράφημα όπου οποιεσδήποτε δύο κορυφές
    είναι ενωμένες με ακμή.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — 18 Οκτωβρίου, 2019 @ 10:54 μμ

  4. Ουσιαστικά η λογική είναι η ίδια, αλλά προσπάθησε να το δείξεις και με γραφήματα μιας
    και αυτό το τρόπο ζητάει η άσκηση. Σε αυτή την άσκηση είναι χρήσιμος ο όρος του επαγόμενου
    υπογραφήματος. Στα μαθηματικά κάποτε είναι ωραίο να δείχνουμε κάτι και με διαφορετικά εργαλεία.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — 18 Οκτωβρίου, 2019 @ 11:01 μμ

  5. Δοθέντος ενός γραφήματος, επαγόμενο υπογράφημα είναι το γράφημα που προκύπτει εάν επιλέξουμε κάποιες από τις κορυφές
    του αρχικού και κρατήσουμε τις ακμές (που ενδεχομένως υπήρχαν εξαρχής στο αρχικό γράφημα)
    μεταξύ οποιονδήποτε δύο κορυφών (απ’αυτές που διαλέξαμε).

    Νέο ερώτημα: Εάν \sum n_i=n, αποδείξτε πως \sum \binom{n_i}{2} \leq \binom{n}{2}.

    Σημείωση: Στη λύση του Shortmanikου, η επιλογή συγκεκριμένων δύο μολυβιών (ανεξαρτήτως χρώματος),
    αντιστοιχεί σε μία ακμή σ’αυτό που ονομάζουμε γράφημα. Τα μολυβάκια είναι οι κορυφές. Εάν έχουμε δύο διαφορετικά χρώματα,
    αυτό πάει να πει διαμερίζουμε το σύνολο κορυφών στα δύο.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — 19 Οκτωβρίου, 2019 @ 5:50 μμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Google

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Blog στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: