Μήκος γραφήματος

26 Ιουλίου, 2018

Μήκος γραφήματος

Filed under: Άλυτα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 4:14 μμ

Δείξτε ότι το μήκος τού γραφήματος μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης από το $[0,1]$ στο $[0,1]$ είναι το πολύ $2$ , και ότι το φράγμα αυτό «πιάνεται» από κάποια συνάρτηση. Ποιο είναι το καλύτερο άνω φράγμα για το μήκος τού γραφήματος μιας κυρτής συνάρτησης από το $[0,1]$ στο $[0,1]$ ;

61 Σχόλια

61 Σχόλια »

Η συνάρτηση είναι απλά Lebesgue ολοκληρώσιμη ;

Μου αρέσει!Μου αρέσει!

Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — 28 Ιουλίου, 2018 @ 11:16 πμ
Ναι. Δεν υπάρχει καμία επιπλέον υπόθεση ομαλότητας. Άλλωστε η μονοτονία ή η κυρτότητα είναι ήδη ισχυρές συνθήκες ομαλότητας.

Μου αρέσει!Μου αρέσει!

Σχόλιο από Themis Mitsis — 28 Ιουλίου, 2018 @ 1:39 μμ
Θα ήθελα να ζητήσω για υπόδειξη σχετικά με το εξής. Έστω $f$ η συνάρτηση μας ορισμένη σε ένα διάστημα $[a,b]$ . Εαν $X=(x_0,x_1,x_2,\cdots,x_n)$
κάποια διαμέριση του $[a,b]$ , ορίζουμε τη ποσότητα $\displaystyle \lambda_f(X)= \sum_{j=1}^{n} \sqrt{(x_j-x_{j-1})^2+(f(x_j)-f(x_{j-1}))^2}$ .
Τώρα το supremum πάνω σε όλες τις δυνατές διαμερίσεις του $[a,b]$ της ποσότητας αυτής είναι το μήκος του γραφήματος, δηλ. $\Lambda_f(a,b)=\:$ sup $\lambda_f(X)$ .
Ισχύει η προσθετικότητα του μήκους της ποσότητας αυτής; Δηλαδή εάν $c \in [a,b]$ , τότε $\Lambda_f(a,b)=\:\Lambda_f(a,c)+\Lambda_f(c,b)$ ; Ευχαριστώ.

Μου αρέσει!Μου αρέσει!

Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — 11 Αυγούστου, 2018 @ 10:57 μμ
Ναι βέβαια. Το μήκος είναι ένα κάθ’ όλα legitimate μέτρο.

Μου αρέσει!Μου αρέσει!

Σχόλιο από Themis Mitsis — 11 Αυγούστου, 2018 @ 11:17 μμ
Συνέχεια στο 3: Έχουμε ότι $\displaystyle \Lambda_f(0,1)\leq \sum_{j=1}^{n} (x_j-x_{j-1})+(f(x_j)-f(x_{j-1}))$ ,
και αυτό διότι (εφόσον η $f$ είναι γνησίως αύξουσα) αν παρουμε δύο σημεία στο $[0,1]$ ,
έστω $x_i < x_{i+1}$ , έχουμε $f(x_i) < f(x_{i+1})$ . Επίσης, από την τριγωνική ανισότητα,
το μήκος του ευθυγράμμου τμήματος που ενώνει τα σημεία $(x_i, f(x_i))$ και $(x_{i+1}, f(x_{i+1}))$
είναι μικρότερο από $(x_{i+1}-x_i)+(f(x_{i+1})-f(x_i))$ . Βλέπουμε λοιπόν ότι η ποσότητα μας $\Lambda_f(0,1)$ ,
που είναι το μήκος του γραφήματος, είναι άνω φραγμένη από το $2$ .

Μου αρέσει!Μου αρέσει!

Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — 11 Νοεμβρίου, 2018 @ 11:53 μμ
Ακριβώς διότι παίρνουμε πίσω το συνολικό μήκος του πεδίου ορισμού και του πεδίου τιμών της συνάρτησης.

Μου αρέσει!Μου αρέσει!

Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — 12 Νοεμβρίου, 2018 @ 12:03 πμ
Σωστά.

Μου αρέσει!Μου αρέσει!

Σχόλιο από Themis Mitsis — 12 Νοεμβρίου, 2018 @ 12:12 πμ
Το φράγμα αυτό «πιάνεται» από οποιαδήποτε συνάρτηση που έχει μηδενική παράγωγο σχεδόν παντού.
Η απόδειξη της πρότασης αυτής είναι κάπως involved.
Μια τέτοια συνάρτηση είναι η συνάρτηση του Cantor η οποία έχει μηδενική παράγωγο σχεδόν
παντού, είναι συνεχής αλλά όχι απόλυτα συνεχής.
Παρακαλώ πέστε μας τί θέλετε να αποδείξουμε από όλα τα παραπάνω.

Μου αρέσει!Μου αρέσει!

Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — 12 Νοεμβρίου, 2018 @ 8:01 μμ
Το φράγμα αυτό «πιάνεται» από συνάρτηση που έχει μηδενική παράγωγο σχεδόν παντού και είναι συνεχής βεβαίως.

Μου αρέσει!Μου αρέσει!

Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — 12 Νοεμβρίου, 2018 @ 9:43 μμ
Νομίζω πως το καλύτερο άνω φράγμα μιας κυρτής συνάρτησης πιάνεται από συνάρτηση της εξής μορφής. Για $x=0$ η συνάρτηση παίρνει τη
τιμή $1$ γίνεται φθίνουσα μέχρι να πάρει τη τιμή $0$ για $x=0.25$ , μετά παραμένει σταθερή (μηδενική) μέχρι το $x=0.75$ (στο διάστημα $[0.25, 0.75]$ )
και ακολούθως γίνεται αύξουσα στο διάστημα $[0.75,1]$ , όπου και τελικά παίρνει τη τιμή $1$ .
Σημείωση: Επειδή το μήκος της $-f$ στο $[0, 0.25]$ είναι ίσο με αυτό της $f$ στο $[0.75, 1]$, και αυτό διότι η $-f$ είναι αύξουσα,
το συνολικό μήκος αυτής της κυρτής συνάρτησης από το $[0,1]$ είναι $3$ .
Άρα ουσιαστικά το πρόβλημα έχει αναχθεί στη περίπτωση που η συνάρτηση είναι αύξουσα.

Μου αρέσει!Μου αρέσει!

Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — 13 Νοεμβρίου, 2018 @ 10:55 πμ
Περί του σχολίου 8: Όντως η συνάρτηση του Cantor έχει μήκος 2. Αν θες παρουσίασέ μας την «involved» απόδειξη που έχεις κατά νού.

Γιατί η συνάρτηση που ορίζεις στο σχόλιο 10 έχει μήκος ίσο με 3;

Μου αρέσει!Μου αρέσει!

Σχόλιο από Christos Pelekis — 13 Νοεμβρίου, 2018 @ 3:45 μμ
Απαντάω προς το παρόν, γιατί η συνάρτηση που ορίζω στο σχόλιο 10, έχει μήκος ίσο με $3$ . Σύμφωνα με την ανάλυση στα σχόλια
5 & 6, βλέπουμε πώς στο διάστημα $[0.75, 1]$ η συνάρτηση έχει μήκος $1.25$ (άθροισμα διαφοράς των άκρων πεδίου ορισμού
και πεδίου τιμών του εν λόγω «κλάδου» της συνάρτησης). Προσθέτουμε σ’αυτό $0.5$ για το μήκος του κλάδου όπου η συνάρτηση
παραμένει (σταθερά) μηδενική. Για το κλάδο τώρα όπου η συνάρτηση είναι φθίνουσα. Ισχυρίζομαι ότι και αυτός ο κλάδος έχει μήκος $1.25$ ,
λόγω του συμμετρικού επιχειρήματος. (το μήκος της $f$ σ’αυτό το κλάδο είναι ίσο με της $-f$ και άρα αν τοποθετούσαμε την $-f$
στη θέση της $f$ σ’αυτό το κλάδο, η συνάρτηση θα ήταν αύξουσα, και άρα μπορούμε να εφαρμόσουμε τον υπολογισμό στο σχόλιο 5.
Συνολικά λοιπόν $1.25+0.5+1.25=3$ .

Μου αρέσει!Μου αρέσει!

Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — 13 Νοεμβρίου, 2018 @ 4:30 μμ
Στα σχόλια 5,6 δείχνεις ότι το μήκος μιας αύξουσας συνάρτησης είναι μικρότερο ή ίσο του 2.
Αυτό συνεπάγεται ότι η συνάρτηση του σχολίου 10 έχει μήκος μικρότερο ή ίσο του 3, αλλά δεν εξασφαλίζει ότι έχει μήκος ακριβώς ίσο με 3.
Υπάρχει κυρτή συνάρτηση από το $[0,1]$ στο $[0,1]$ της οποίας το γράφημα έχει μήκος ίσο με 3;

Μου αρέσει!Μου αρέσει!

Σχόλιο από Christos Pelekis — 13 Νοεμβρίου, 2018 @ 4:40 μμ
Ναι. Θα μπορούσαμε υποθέτω να βάλουμε μια scaled-version της σκάλας της συνάρτησης του Cantor στο διάστημα $[0, 0.25]$ που να είναι συμμετρική ως προς τον κατακόρυφο
άξονα $x=0.5$ , της αντίστοιχης γνησίως αύξουσας σκάλας (οριζόντιο stretching, αφού το ύψος της «σκάλας» είναι μεν $1$ αλλά το πλάτος $0.25$ )
στο διάστημα $[0.75, 1]$ , οπότε πετυχαίνουμε το ζητούμενο. Σωστά;

Μου αρέσει!Μου αρέσει!

Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — 13 Νοεμβρίου, 2018 @ 4:53 μμ
Όχι. Η συνάρτηση που περιγράφεις δεν είναι κυρτή.

Μου αρέσει!Μου αρέσει!

Σχόλιο από Christos Pelekis — 13 Νοεμβρίου, 2018 @ 4:59 μμ
Γιατί η συνάρτηση που περιγράφω στο 14. δεν είναι κυρτή; (παρεμπιπτόντως έπρεπε να έγραφα τη λέξη compression αντί stretching)
Να ρωτήσω. Mπορούμε να βάλουμε συνάρτηση που να είναι λεία-twice differentiable με την «οικεία» έννοια του διαφορικού λογισμού
από το Λύκειο;

Μου αρέσει!Μου αρέσει!

Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — 13 Νοεμβρίου, 2018 @ 5:45 μμ
Τί σε κάνει να πιστεύεις ότι η συνάρτηση του σχολίου 14 είναι κυρτή;
Οποιοδήποτε παράδειγμα κυρτής συνάρτησης είναι legitimate..

Μου αρέσει!Μου αρέσει!

Σχόλιο από Christos Pelekis — 13 Νοεμβρίου, 2018 @ 6:38 μμ
Το ότι ξεκινάει από το $1$ και είναι φθίνουσα μέχρι να πάρει τη τιμή $0$ . Αν περιστρέψουμε τη συνάρτηση του Cantor κατά $180\,^{\circ}$
και γίνει οριζόντια «συμπύκνωση», αυτός ο κλάδος δε θα είναι φθίνουσα στο $[0, 0.25]$ .
Αν εξακολουθεί να μην είναι κυρτή (παρακαλώ εξηγείστε μας γιατί;) σκέφτομαι να δοκιμάσω
συναρτήσεις της μορφής $1-alpha x^n$ για $n\in \mathbb{N}$ , έτσι ώστε να ικανοποιούν τη συνθήκη (αν αυτό είναι εν τέλει δυνατό).

Μου αρέσει!Μου αρέσει!

Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — 13 Νοεμβρίου, 2018 @ 6:58 μμ
Συναρτήσεις της μορφής $1-\alpha x^n$ για $n\in mathbb{N}$ και $\alpha\in mathbb{R}$ .

Μου αρέσει!Μου αρέσει!

Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — 13 Νοεμβρίου, 2018 @ 7:01 μμ
Δεν είναι σωστό ότι κάθε συνάρτηση που φθίνει έως ένα σημείο και μετά αυξάνει είναι κυρτή..

Μου αρέσει!Μου αρέσει!

Σχόλιο από Christos Pelekis — 13 Νοεμβρίου, 2018 @ 7:03 μμ
Το γνωρίζω αυτό 🙂
Αν η $f$ είναι λεία (π.χ πολυωνυμική) πρέπει η $f'$ να είναι αύξουσα.
Όμως θα ήθελα να μας εξηγήσετε γιατί η συνάρτηση στο 14. δεν είναι κυρτή; Σημαίνει κάτι παρατηρήσατε για τη συγκεκριμένη
συνάρτηση έτσι ώστε να αποτυγχάνει σ’αυτό. Τί όμως;

Μου αρέσει!Μου αρέσει!

Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — 13 Νοεμβρίου, 2018 @ 7:08 μμ
Η συνάρτηση του Cantor https://en.wikipedia.org/wiki/Cantor_function που χρησιμοποιείς δεν είναι ούτε κυρτή ούτε κοίλη.

Μου αρέσει!Μου αρέσει!

Σχόλιο από Christos Pelekis — 13 Νοεμβρίου, 2018 @ 7:13 μμ
Άρα είναι εντελώς λάθος η προσέγγιση από το σχόλιο 10. και μετά. Συνεπώς δεν είναι καθόλου προφανές το άνω φράγμα (το 3) που
υποθέσαμε, διότι η συνάρτηση που είχα κατά νου δεν ήταν κυρτή. Δε γνωρίζω..

Μου αρέσει!Μου αρέσει!

Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — 13 Νοεμβρίου, 2018 @ 8:39 μμ
Οπότε η τελευταία μου προσπάθεια για το ερώτημα αυτό είναι να δοκιμάσω συναρτήσεις της μορφής $y=1-\alpha x^n$ για $n\in \mathbb{N}$ και
$\alpha \in \mathbb{R}$. Αν δε δουλέψει, θα χρειαστώ υπόδειξη!

Μου αρέσει!Μου αρέσει!

Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — 13 Νοεμβρίου, 2018 @ 10:05 μμ
$\alpha \in \mathbb{R}$ .

Μου αρέσει!Μου αρέσει!

Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — 13 Νοεμβρίου, 2018 @ 10:06 μμ
@20: Μπορείτε να μας πείτε αν ο «τύπος» της κυρτής συνάρτησης που ψάχνουμε είναι «κατασκευαστικά» περίεργος,
της τάξης μεγέθους της συνάρτησης του Cantor;

Μου αρέσει!Μου αρέσει!

Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — 14 Νοεμβρίου, 2018 @ 3:33 μμ
Το ερώτημα αν υπάρχει (γνήσια) αύξουσα συνάρτηση με γράφημα μήκους 2 δεν έχει απαντηθεί ικανοποιητικά, δηλαδή με τρόπο που όλοι οι αναγνώστες να πάρουν μια ιδέα.
Επίσης, δεν έχει δοθεί άνω φράγμα για το μήκος τού γραφήματος μιας κυρτής συνάρτησης.
Γιατί να μην ολοκληρώσουμε πρώτα με αυτά;

Μου αρέσει!Μου αρέσει!

Σχόλιο από Themis Mitsis — 14 Νοεμβρίου, 2018 @ 3:59 μμ
Πράγματι. Εγώ θα έλεγα μάλιστα να αγνοηθούν πλήρως όλα όσα έγραψα από το σχόλιο 8 και μετά και ει δυνατόν να διαγραφούν διότι προκαλούν
σύγχυση.

Μου αρέσει!Μου αρέσει!

Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — 14 Νοεμβρίου, 2018 @ 4:05 μμ
@Professor Themis Mitsis : Νομίζω πώς το επιχείρημα στο σχόλιο 10. εξακολουθεί να ισχύει όπως διεπίστωσε και ο Χρήστος (σχόλιο 13), οπότε έχει δοθεί το άνω φράγμα
για το μήκος του γραφήματος μιας κυρτής συνάρτησης. Οπότε απομένει να βρούμε συναρτήσεις που να «πιάνουν» τα άνω φράγματα.

Μου αρέσει!Μου αρέσει!

Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — 14 Νοεμβρίου, 2018 @ 7:27 μμ
Τώρα είδα ότι στο διάστημα $[0, 0.25]$ o κλάδος αυτός της συνάρτησης είναι κοίλη συνάρτηση αν εφαρμόσω αυτό που λέω στο 10. Οπότε δεν ισχύει. Σωστά;

Μου αρέσει!Μου αρέσει!

Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — 14 Νοεμβρίου, 2018 @ 7:33 μμ
Κωνσταντίνε, στο σχόλιο 10 περιγράφεις τη μορφή μιας κυρτής συνάρτησης ειδικού τύπου την οποία προτείνεις σαν παράδειγμα κυρτής συνάρτησης που το μἠκος της ισούται με 3.
Προς το παρόν, δεν έχουμε κάποιο επιχείρημα που να δίδει άνω φράγμα για το μήκος του γραφήματος μιας κυρτής συνάρτησης..

Ελπίζω ο blogmaster να μου επιτρέπει να πώ πως υπάρχει «Proof from the Book» για το μέγιστο μήκος μιας κυρτής συνάρτησης, τα συστατικά της οποίας υπάρχουν στα σχόλια παλαιότερων προβλημάτων αυτού του blog..

Μου αρέσει!Μου αρέσει!

Σχόλιο από Christos Pelekis — 14 Νοεμβρίου, 2018 @ 8:23 μμ
Ακριβώς Χρήστο.

Μου αρέσει!Μου αρέσει!

Σχόλιο από Themis Mitsis — 14 Νοεμβρίου, 2018 @ 8:33 μμ
Ναι, συμφωνώ και εγώ. Κατ’ακρίβειαν θεώρησα στο 10. πώς αν πάρουμε για το ερώτημα που λύσαμε μια αύξουσα συνάρτηση
$f$ η οποία είναι κοίλη, τότε η $-f$ είναι κυρτή πράγματι αν τη τοποθετήσω στον αριστερό κλάδο, έτσι όπως τα περίγραψα.
Δεν έχουμε όμως κανένα επιχείρημα πράγματι.

Μου αρέσει!Μου αρέσει!

Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — 14 Νοεμβρίου, 2018 @ 8:42 μμ
Μια κυρτή συνάρτηση που προσεγγίζει όσο θέλουμε το άνω φράγμα έχει την εξής μορφή. Μάλιστα μπορεί να είναι και γνησίως κυρτή ( $f'$ γνησίως
αύξουσα συνάρτηση). Μπορούμε να σκεφθούμε το $[0,1]x[0,1]$ σαν τις 4 πλευρές ενός τετραγώνου πλευράς $1$ .
Η συνάρτηση για $x=0$ παίρνει την τιμή $1$ , ακολούθως φθίνει τόσο γρήγορα που για οποιοδήποτε $\varepsilon>0$ , για $x=\varepsilon$ ,
η συνάρτηση έχει ήδη προσεγγίσει τον άξονα $y=0$ ,στο πεδίο ορισμού της, όσο θέλουμε, έχοντας όμως απ’αυτόν θετική απόσταση.
Ακολούθως, στο διάστημα $(\varepsilon,1-\varepsilon)$ μένει «σχεδόν σταθερή» (ουσιαστικά παράλληλη με «την κάτω πλευρά του τετραγώνου»)
και τέλος γίνεται αύξουσα στο $(1-\varepsilon, 1)$ , όπου στο διάστημα αυτό, είναι «σχεδόν παράλληλο» το γράφημα με τη δεξιά πλευρά του τετραγώνου.
Για $x=1$ η συνάρτηση παίρνει τη τιμή $1$ , διατηρώντας την κυρτότητά της. Οπότε το γράφημα αυτού του «τύπου συνάρτησης» έχει άνω φράγμα μήκους,
το άθροισμα των τριών πλευρών του τετραγώνου, δηλαδή $3$ .

Μου αρέσει!Μου αρέσει!

Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — 17 Νοεμβρίου, 2018 @ 10:22 πμ
$[0,1] \times[0,1]$

Μου αρέσει!Μου αρέσει!

Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — 17 Νοεμβρίου, 2018 @ 10:24 πμ
Να κάνω μία διόρθωση-διευκρίνιση όσον αφορά το διάστημα που έγραψα ότι μένει «σχεδόν σταθερή». Η συνάρτηση συνεχίζει να είναι φθίνουσα
και σ’αυτό το διάστημα. Οπότε την ελάχιστη τιμή της μπορεί να την πάρει στον δεξί άκρο του διαστήματος $(1-\varepsilon, 1)$ ,
$f(1-\varepsilon)=0$ και ακολούθως γίνεται super-αύξουσα!!

Μου αρέσει!Μου αρέσει!

Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — 17 Νοεμβρίου, 2018 @ 11:04 πμ
Στο αριστερό άκρο εννοούσα. Πολύ wordy μου φαίνεται, δε ξέρω αν είναι σωστό..

Μου αρέσει!Μου αρέσει!

Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — 17 Νοεμβρίου, 2018 @ 11:05 πμ
Περί του σχολίου 34: Περιγράφεις τη μορφή μιας κυρτής συνάρτησης της οποίας το γράφημα έχει μήκος «σχεδόν» 3.
Γιατί δεν υπάρχει συνάρτηση που το γράφημά της έχει μήκος μεγαλύτερο του 3;

Μου αρέσει!Μου αρέσει!

Σχόλιο από Christos Pelekis — 17 Νοεμβρίου, 2018 @ 12:21 μμ
Έχει σημασία να βάλουμε κάποιους περιορισμούς όμως στη συνέχεια της συνάρτησης νομίζω. Μπορείς να τοποθετήσεις «λίγο λοξές»-κυρτές καμπύλες
που να προσεγγίζουν ευθείες με άπειρη κλίση (δηλαδή να είναι «σχεδόν παράλληλες με τον άξονα των $y$ ). Μια τέτοια κυρτή συνάρτηση, μπορεί να έχει
άπειρο μήκος. ( $1+1+1+\cdots=?$ ) ) Δεν ξέρω αν κατάλαβες τί εννοώ.

Μου αρέσει!Μου αρέσει!

Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — 17 Νοεμβρίου, 2018 @ 12:57 μμ
Φαντάζομαι είναι δεδομένη η συνέχεια της συνάρτησης;

Μου αρέσει!Μου αρέσει!

Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — 17 Νοεμβρίου, 2018 @ 1:42 μμ
Όχι, δε χρειάζεται κάποια επιπρόσθετη υπόθεση ομαλότητας (δες σχόλιο 2). Παρ᾽όλα αυτά, αν έχει κάποιο επιχείρημα για συνεχείς συναρτήσεις μπορείς να μας το παρουσιάσεις..

Μου αρέσει!Μου αρέσει!

Σχόλιο από Christos Pelekis — 17 Νοεμβρίου, 2018 @ 1:53 μμ
Αυτό που αναφέρω στο 39 όμως/τότε δεν είναι ένα παράδειγμα κυρτής συνάρτησης με άπειρο μήκος;

Μου αρέσει!Μου αρέσει!

Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — 17 Νοεμβρίου, 2018 @ 1:55 μμ
Μια κυρτή συνάρτηση έχει μήκος το πολύ 3. Πρώτα πρέπει να δείξει κανείς αυτό και μετά να ψάξει αν πιάνεται το φράγμα. Επίσης, μια κυρτή συνάρτηση είναι απόλυτα συνεχής στο (0,1). Δεν υπάρχουν ασυνεχείς κυρτές συναρτήσεις παρά μόνο στα δυο άκρα.

Μου αρέσει!Μου αρέσει!

Σχόλιο από Themis Mitsis — 17 Νοεμβρίου, 2018 @ 2:00 μμ
Κύριε Μήτση, όμως για να το δείξουμε δε πρέπει να θεωρήσουμε σα δεδομένη τη μορφή της κυρτής συνάρτησης έτσι όπως το
περιγράφω στο 34; Ή δε χρειάζεται να υποθέσει κανείς κάτι τέτοιο; Σκέφθηκα να χρησιμοποιήσω παρόμοια ιδέα με το 1ο ερώτημα, σε
δύο φάσεις (διάστημα όπου η $f$ είναι φθίνουσα, μέχρι να πάρει το ελάχιστο, και το διάστημα όπου είναι αύξουσα)
σε συνδυασμό με τον ορισμό της κυρτότητας, αλλά έχοντας υπόψιν ότι το μήκος «πιάνεται» δεδομένου ότι έχει την εν λόγω «μορφή» η συνάρτηση.
Ή μπορεί να πάρει τη πληροφορία που χρειάζεται κανείς βλέποντας από την αρχή το πεδίο ορισμού και πεδίο τιμών της $f$ ..

Μου αρέσει!Μου αρέσει!

Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — 17 Νοεμβρίου, 2018 @ 9:44 μμ
Αν έχεις κάποια απόδειξη, απλώς παρουσίασέ τη.

Μου αρέσει!Μου αρέσει!

Σχόλιο από Themis Mitsis — 18 Νοεμβρίου, 2018 @ 12:38 πμ
Δεν έχω κάτι υπόψιν πως να αποδείξω το άνω φράγμα για τη κυρτή περίπτωση «με φόρμουλες». Θα ήταν ενδιαφέρον
αν τροποποιείται η απόδειξη που έχετε υπόψιν για άνω φράγματα κυρτών συναρτήσεων σε «μεγαλύτερα» διαστήματα, για παράδειγμα
από το $[0,\alpha] \times [0,\alpha]$ . Μπορεί κανείς να πάρει άνω φράγματα για $\alpha>1$ ;

Μου αρέσει!Μου αρέσει!

Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — 18 Νοεμβρίου, 2018 @ 9:37 μμ
Διόρθωση: Από το [0,α] στο [0,α].
Ίσως αυτό να είναι τετριμμένο, μιας και η απάντηση μάλλον είναι 3α.

Μου αρέσει!Μου αρέσει!

Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — 18 Νοεμβρίου, 2018 @ 10:11 μμ
Θα πω μια τελευταία σκέψη. Έστω ότι θέλουμε να δώσουμε το άνω φράγμα «χωρίζοντας» την f στο διάστημα όπου
είναι φθίνουσα ώσπου να πάρει την ελάχιστη τιμή της, και το αντίστοιχο όπου είναι αύξουσα.
Το πρόβλημα, ανάγεται λοιπόν στο να επιλέξουμε τη διαμέριση των δύο που πετυχαίνει η f τη μέγιστη μονοτονία της.
Δε βλέπω πως θα δώσω διαφορετικά άνω φράγμα. Οποιαδήποτε βοήθεια ευπρόσδεκτη.

Μου αρέσει!Μου αρέσει!

Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — 19 Νοεμβρίου, 2018 @ 2:17 μμ
Το μέγιστο μήκος γραφήματος μονότονης συνάρτησης σε διάστημα το έχεις βρει. Επομένως…

Μου αρέσει!Μου αρέσει!

Σχόλιο από Themis Mitsis — 19 Νοεμβρίου, 2018 @ 2:36 μμ
Πρέπει να είναι 4 ; δύο και δύο!

Μου αρέσει!Μου αρέσει!

Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — 19 Νοεμβρίου, 2018 @ 7:55 μμ
Δεν είναι 2 και 2. Είναι 1 και κάτι για το ένα κομμάτι και 1 και κάτι για το άλλο, όπου τα κάτι αθροίζουν το πολύ στο 1. Άρα το συνολικό μήκος είναι το πολύ 3.

Μου αρέσει!Μου αρέσει!

Σχόλιο από Themis Mitsis — 19 Νοεμβρίου, 2018 @ 11:42 μμ
Έχουμε δείξει στη γενική περίπτωση, ότι μια (γνησίως) μονότονη συνάρτηση από το $[a,b]$ στο $[c,d]$ έχει μήκος το πολύ $(b-a)+(d-c)$ .
Μια κυρτή συνάρτηση, αν δεν είναι γνησίως αύξουσα (1η περίπτωση που εξετάσαμε), τότε θα είναι φθίνουσα στο $[0, \xi]$ , (πιθανόν) σταθερή στο
$[\xi, \xi+\varepsilon]$ και αύξουσα στο διάστημα $[\xi+\varepsilon, 1]$ . Έτσι, το μήκος γραφήματος, είναι το άθροισμα των μηκών των τριών
«κλάδων», ήτοι, εκεί που η συνάρτηση είναι φθίνουσα, εκεί που είναι σταθερή και εκεί που είναι αύξουσα!
Το συνολικό μήκος λοιπόν, είναι το πολύ $(1+\xi)+(\varepsilon)+(1+(1-\xi-\varepsilon))=3$ .
Τώρα τί απομένει για αυτή την άσκηση;

Μου αρέσει!Μου αρέσει!

Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — 25 Νοεμβρίου, 2018 @ 12:06 πμ
Να δείξεις αν το 3 πιάνεται.

Μου αρέσει!Μου αρέσει!

Σχόλιο από Themis Mitsis — 25 Νοεμβρίου, 2018 @ 12:13 πμ
@38: Η σκιαγράφιση της μορφής της συνάρτησης στο σχόλιο 34 που έδωσα, είναι ικανοποιητική για το φράγμα 3; (μέγιστο
δυνατό μήκος κυρτής συνάρτησης) Ή ψάχνουμε κάτι άλλο.

Μου αρέσει!Μου αρέσει!

Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — 26 Νοεμβρίου, 2018 @ 3:41 μμ
Το ότι το γράφημα μιας κυρτής συνάρτησης έχει μήκος το πολύ 3 το έχεις δείξει στο σχόλιο 52. Στο σχόλιο 34 δίνεις κυρτές συναρτήσεις που έχουν γράφημα μήκους αυθαίρετα κοντά στο 3. Αυτό δεν απαντά στο ερώτημα αν υπάρχει κυρτή συνάρτηση με γράφημα μήκους ακριβώς 3. Είτε θα δώσεις ένα τέτοιο παράδειγμα, ή θα αποδείξεις ότι δεν υπάρχει κυρτή συνάρτηση με γράφημα μήκους ακριβώς 3. Νομίζω το ερώτημα δεν μπορεί να γίνει πιο σαφές.

Μου αρέσει!Μου αρέσει!

Σχόλιο από Themis Mitsis — 26 Νοεμβρίου, 2018 @ 11:40 μμ
Το ερώτημα μου είναι προς τους συγγραφείς του προβλήματος. Θα ήταν βοηθητικό να πάρουμε ιδέα για το πως θα κατασκευάσουμε τις
«επιθυμειτές συναρτήσεις», που απαντούν στο κατά πόσο πιάνονται τα δύο φράγματα (2 στη περίπτωση της γνησίως αύξουσας,
και 3 στη περίπτωση της κυρτής συνάρτησης), αν κοιτάζαμε τη δουλειά των Riesz και Nagy σε συνδυασμό με τη λέξη κλειδί
strictly increasing singular function;
Ευχαριστώ εκ των προτέρων.

Μου αρέσει!Μου αρέσει!

Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — 5 Δεκεμβρίου, 2018 @ 10:00 μμ
Μπορείτε να μας πείτε αν το άνω φράγμα σ’αυτή την άσκηση, έχει να κάνει με την Hausdorff διάσταση;
Κοιτάξτε το θεώρημα 1.4., στο ακόλουθο (πρόσφατο) άρθρο: https://arxiv.org/pdf/1908.04727.pdf

Μου αρέσει!Μου αρέσει!

Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — 17 Αυγούστου, 2019 @ 4:22 μμ
Αν κάτι έχει πεπερασμένο μήκος, τότε έχει διάσταση το πολύ 1. Πέρα από αυτό, δεν υπάρχει κάποια σχέση.

Μου αρέσει!Μου αρέσει!

Σχόλιο από Themis Mitsis — 17 Αυγούστου, 2019 @ 6:40 μμ
Το $\mathcal{H}^1(G_f)$ τί ακριβώς είναι;

Μου αρέσει!Μου αρέσει!

Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — 17 Αυγούστου, 2019 @ 7:05 μμ
Αφού ισούται με το άθροισμα της διαφοράς των άκρων. Άρα ακριβώς 2 είναι.

Μου αρέσει!Μου αρέσει!

Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — 17 Αυγούστου, 2019 @ 7:29 μμ
Στο 57. εννοούσα Hausdorff μέτρο. (και λανθασμένα έγραψα διάσταση!)

Μου αρέσει!Μου αρέσει!

Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — 19 Αυγούστου, 2019 @ 12:50 πμ

RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

	Themis Mitsis στη Όρια ορίων και η χαρακτηριστικ…
	Κωνσταντίνος Κουρουζ… στη Όρια ορίων και η χαρακτηριστικ…
	Κωνσταντίνος Κουρουζ… στη Πόσα παιδιά είναι αγόρια;
	George Rizopulos στη Μπορείτε να σκοτώσετε τον…
	Mihalis Kolountzakis στη Μπορείτε να σκοτώσετε τον…
	George Rizopulos στη Μπορείτε να σκοτώσετε τον…
	George Rizopulos στη ΕΡΕΥΝΑ: «Έχετε απατήσει τη/ο σ…
	George Rizopulos στη ΕΡΕΥΝΑ: «Έχετε απατήσει τη/ο σ…
	Κωνσταντίνος Κουρουζ… στη Απλά γραφήματα
	ΘΑΝΑΣΗΣ ΠΑΠΑΔΗΜΗΤΡΙΟ… στη Απλά γραφήματα
	Κωνσταντίνος Κουρουζ… στη Απλά γραφήματα
	ΘΑΝΑΣΗΣ ΠΑΠΑΔΗΜΗΤΡΙΟ… στη Απλά γραφήματα
	Κωνσταντίνος Κουρουζ… στη Απλά γραφήματα
	Κωνσταντίνος Κουρουζ… στη Απλά γραφήματα
	ΘΑΝΑΣΗΣ ΠΑΠΑΔΗΜΗΤΡΙΟ… στη Απλά γραφήματα

Προβλήματα Μαθηματικών

26 Ιουλίου, 2018

Μήκος γραφήματος

61 Σχόλια »

Σχολιάστε

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

Kατηγορίες

Πρόσφατα άρθρα

Πρόσφατα σχόλια

Αρχείο

Δημοφιλέστερα άρθρα

Στατιστικά στοιχεία του Blog

Προβλήματα Μαθηματικών

26 Ιουλίου, 2018

Μήκος γραφήματος

Κοινοποιήστε:

Σχετικά

61 Σχόλια »

Σχολιάστε

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

Kατηγορίες

Πρόσφατα άρθρα

Πρόσφατα σχόλια

Αρχείο

Δημοφιλέστερα άρθρα

Στατιστικά στοιχεία του Blog