Προβλήματα Μαθηματικών

Ιουλίου 26, 2018

Μήκος γραφήματος

Filed under: Άλυτα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 4:14 μμ

Δείξτε ότι το μήκος τού γραφήματος μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης από το [0,1] στο [0,1] είναι το πολύ 2, και ότι το φράγμα αυτό «πιάνεται» από κάποια συνάρτηση. Ποιο είναι το καλύτερο άνω φράγμα για το μήκος τού γραφήματος μιας κυρτής συνάρτησης από το [0,1] στο [0,1];

Advertisements

4 Σχόλια »

  1. Η συνάρτηση είναι απλά Lebesgue ολοκληρώσιμη ;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — Ιουλίου 28, 2018 @ 11:16 πμ

  2. Ναι. Δεν υπάρχει καμία επιπλέον υπόθεση ομαλότητας. Άλλωστε η μονοτονία ή η κυρτότητα είναι ήδη ισχυρές συνθήκες ομαλότητας.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Ιουλίου 28, 2018 @ 1:39 μμ

  3. Θα ήθελα να ζητήσω για υπόδειξη σχετικά με το εξής. Έστω f η συνάρτηση μας ορισμένη σε ένα διάστημα [a,b]. Εαν X=(x_0,x_1,x_2,\cdots,x_n)
    κάποια διαμέριση του [a,b], ορίζουμε τη ποσότητα \displaystyle \lambda_f(X)= \sum_{j=1}^{n} \sqrt{(x_j-x_{j-1})^2+(f(x_j)-f(x_{j-1}))^2}.
    Τώρα το supremum πάνω σε όλες τις δυνατές διαμερίσεις του [a,b] της ποσότητας αυτής είναι το μήκος του γραφήματος, δηλ. \Lambda_f(a,b)=\:sup \lambda_f(X).
    Ισχύει η προσθετικότητα του μήκους της ποσότητας αυτής; Δηλαδή εάν c \in [a,b], τότε \Lambda_f(a,b)=\:\Lambda_f(a,c)+\Lambda_f(c,b); Ευχαριστώ.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — Αύγουστος 11, 2018 @ 10:57 μμ

  4. Ναι βέβαια. Το μήκος είναι ένα κάθ’ όλα legitimate μέτρο.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Αύγουστος 11, 2018 @ 11:17 μμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Δημιουργήστε ένα δωρεάν ιστότοπο ή ιστολόγιο στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: