Προβλήματα Μαθηματικών

20 Ιουλίου, 2015

Ασύμμετρα σύνολα

Filed under: Λυμένα Προβλήματα,Με επιπλέον ερωτήματα — Themis Mitsis @ 2:13 μμ

Ένα ακόμα πρόβλημα από τον Κωνσταντίνο Κουρουζίδη

Για κάθε δυαδικό διάνυσμα x\in\{0,1\}^n θέτουμε \hat x να είναι το διάνυσμα με συντεταγμένες \hat x(j)=1-x(j). Ένα σύνολο δυαδικών διανυσμάτων A λέγεται ασύμμετρο αν x\in A\Rightarrow \hat x\notin A. Πόσα ασύμμετρα σύνολα υπάρχουν;

11 Σχόλια »

  1. Στις η διαστάσεις υπάρχουν 2^η δυαδικά διανύσματα, τα οποία είναι ανά δύο ‘συμμετρικά’ μεταξύ τους (σύμφωνα με τον ορισμό της εκφώνησης). Υπάρχουν επομένως 2^η/2 = 2^(η-1) ζευγάρια ‘συμμετρικών’ δυαδικών διανυσμάτων. Σε οποιοδήποτε ασύμμετρο σύνολο, ένα ζευγάρι συμμετρικών δυαδικών διανυσμάτων μπορεί είτε να μη συμμετέχει με κανένα μέλος του, είτε να συμμετέχει με ένα αποκλειστικά μέλος του, οποιοδήποτε από τα δύο (1+2=3 επιλογές) .
    Επομένως, υπάρχουν Α(η) = 3^[2^(η-1)] ασύμμετρα σύνολα (μη αποκλειομένου του κενού).
    Για η=1-> Α(1)=3^1=3, για η=2 -> Α(2)=3^2=9, για η=3 -> Α(3)=3^4=81 κ.ο.κ.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από ΘΑΝΑΣΗΣ ΠΑΠΑΔΗΜΗΤΡΙΟΥ — 21 Ιουλίου, 2015 @ 7:55 μμ

  2. Θανάση είναι η σωστή κατεύθυνση αυτή. Δύο μόνο πράγματα για να μπορέσουμε να συμφωνούν οι απαντήσεις.
    Ορισμός: 1) Δύο ασύμμετρα σύνολα θα ονομάζονται ισόμορφα, αν υπάρχει ένα προς ένα απεικόνιση και επί, από τα διανύσματα του πρώτου συνόλου στα διανύσματα του δευτέρου που να απεικονίζει αντιποδικά διανύσματα σε αντιποδικά. Θα κάνουμε τη σύμβαση να μη μετράμε δύο φορές τα ισόμορφα διανύσματα που πάνε όλα ανα δύο πακέτο. Εξ’ορισμού δύο τέτοια σύνολα έχουν ίδιο πληθάριθμο.
    2) Κάθε γνήσιο υποσύνολο των παραπάνω δεν θα το μετράμε, διότι το συμπλήρωμα κάθε τέτοιου συνόλου έχει διαφορετικό μέγεθος και αν το ένα είναι ασύμμετρο δεν είναι δύσκολο να δούμε ότι το άλλο δεν είναι.
    Επομένως για n=2, για παράδειγμα, έχουμε δύο αντιποδικά σύνολα και όχι 9. {01,11}, {01,00}.
    Με συγχωρείς που δεν το ξεκαθαρίσαμε αυτό από την αρχή.
    Κωνσταντίνος

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — 21 Ιουλίου, 2015 @ 11:01 μμ

  3. Επομένως για n=2, για παράδειγμα, έχουμε δύο ασύμμετρα σύνολα: {(01),(11)}, {(01),(00)}.
    Θα κάνουμε τη σύμβαση να μη μετράμε δύο φορές τα ισόμορφα σύνολα που πάνε όλα ανά δύο πακέτο.
    Το συμπλήρωμα ενός συνόλου ασύμμετρου αποτελείτε από όλα τα \hat x (εκφώνηση) και επομένως έχουν και τα δύο το ίδιο μέγεθος.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — 22 Ιουλίου, 2015 @ 1:50 πμ

  4. Κωνσταντίνε, δυσκολεύομαι να καταλάβω πώς ξέφυγαν από την αρχική εκφώνηση η ορισμοί και οι συμβάσεις που αναφέρεις στα εν συνεχεία σχόλιά σου και που προσδιορίζουν εν τέλει ένα εντελώς διαφορετικό πρόβλημα. Τέλος πάντων, αν το αντιλαμβάνομαι σωστά, αυτό που ζητάς τελικά είναι το πλήθος των ασύμμετρων συνόλων που το καθένα τους έχει 2^(η-1) ακριβώς μέλη (δυαδικά διανύσματα) και που κανένα από αυτά τα ασύμμετρα σύνολα δεν είναι ισόμορφο κάποιου άλλου, με τον τρόπο που όρισες την ισομορφία.
    Αν είναι έτσι, τότε νομίζω Α(η) = 2^[2^(η-1)-1]
    Για η=2 -> Α(2) = 2, για η=3 -> Α(3) = 8 κ.ο.κ.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από ΘΑΝΑΣΗΣ ΠΑΠΑΔΗΜΗΤΡΙΟΥ — 22 Ιουλίου, 2015 @ 10:18 πμ

  5. Σωστά.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — 22 Ιουλίου, 2015 @ 12:10 μμ

  6. Μπορούμε να αποδείξουμε την εξίσωση:
    \displaystyle 1+\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{2^{m-1}-1}\binom{2^{m-1}}{k}=2^{2^{m-1}-1},
    με συνδυαστική βασισμένη στο πρόβλημα αυτό;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — 22 Ιουλίου, 2015 @ 1:34 μμ

  7. Θα ήθελα να παραθέσω ένα επιπλέον ερώτημα για το οποίο δεν γνωρίζω την απάντηση, εύχομαι με συντονισμένη προσπάθεια να το λύσουμε. Ένα σύνολο δυαδικών διανυσμάτων A, λέγεται ασύμμετρο (εδώ θα αλλάξω λίγο τον ορισμό της εκφώνησης για να είναι συμβατός με τον ορισμό στα σχόλια 2,3) αν x\in A\Rightarrow \hat x\in A^{c}. Το τυχόν διάνυσμα \hat x, ονομάζεται αντιποδικό του x. Πόσα σύνολα υπάρχουν (up to isomorphism) που να περιέχουν ακριβώς 1 αντιποδικό διάνυσμα; Γενικά είναι προφανές ότι αν το A περιέχει k>0 αντιποδικά διανύσματα το ίδιο θα συμβαίνει και για το συμπλήρωμά του.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — 17 Σεπτεμβρίου, 2015 @ 11:15 μμ

  8. Για το νέο ερώτημα, οποιοδήποτε τέτοιο σύνολο να έχει πληθάριθμο ίσο των μισών συνολικών διανυσμάτων που υπάρχουν στις n διαστάσεις.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — 18 Σεπτεμβρίου, 2015 @ 12:03 πμ

  9. Ιδού μια εφαρμογή του προβλήματος αυτού: \displaystyle\binom{2^n}{2^{n-1}}=(1)+(2)+(3)+\cdots+(4)+\cdots+(5), όπου:
    (1):=\displaystyle2+\sum_{k=1}^{2^{n-1}-1}\binom{2^{n-1}}{k} είναι όλα τα ασύμμετρα σύνολα.
    (2):=\displaystyle2^{n-1}\cdot\binom{2^{n-1}-1}{2^{n-1}-2}\cdot2^{{2^{n-1}}-2} είναι ο αριθμός των συνόλων με ακριβώς ένα ζευγάρι αντιποδικών διανυσμάτων.
    (3):=\displaystyle\frac{1}{2!}\cdot2^{n-1}\cdot(2^{n-1}-1)\cdot\binom{2^{n-1}-2}{2^{n-1}-4}\cdot2^{{2^{n-1}}-4} είναι ο αριθμός των συνόλων με δύο ζευγάρια αντιποδικών διανυσμάτων.
    (4):=\displaystyle\frac{1}{k!}\cdot2^{n-1}\cdot(2^{n-1}-1)\cdots(2^{n-1}-k+1)\cdot\binom{2^{n-1}-k}{2^{n-1}-2k}\cdot2^{{2^{n-1}}-2k} είναι ο αριθμός των συνόλων με k ζευγάρια αντιποδικών διανυσμάτων.
    (5):=\frac{1}{2^{n-2}!}\cdot2^{n-1}\cdot(2^{n-1}-1)\cdots(2^{n-1}-2^{n-2}+1) είναι ο αριθμός των συνόλων όπου σε κάθε σύνολο το κάθε διάνυσμα εμφανίζεται με το αντιποδικό του στο ίδιο σύνολο.
    Όλα τα παραπάνω σύνολα έχουν πλήθος διανυσμάτων 2^{n-1} το κάθε ένα.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — 27 Σεπτεμβρίου, 2015 @ 3:26 μμ

  10. Ο πιο πάνω μέσος διωνυμικός συντετλεστής, είναι έγκυρος μόνο για δυνάμεις του $2$.
    Γενικότερα ισχύει:
    $\binom{2n}{n} = \sum_{k=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} \binom{n}{k} \binom{n-k}{k} 2^{n-2k}$.
    Αυτό το τελευταίο τύπο μου τον είπε ο Steve Noble (προσωπική επικοινωνία), τον οποίο
    παραθέτω στους αναγνώστες του μπλόκ. The details are left to the reader…

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — 26 Σεπτεμβρίου, 2018 @ 8:46 μμ

  11. \binom{2n}{n} = \sum_{k=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} \binom{n}{k} \binom{n-k}{k} 2^{n-2k}.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — 26 Σεπτεμβρίου, 2018 @ 8:47 μμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Δημιουργήστε ένα δωρεάν ιστότοπο ή ιστολόγιο στο WordPress.com.