Δύο φίλοι, ο Β και ο S, παίζουν ένα παιχνίδι με κέρματα. Ο κάθε ένας από τους δύο έχει τα δικά του κέρματα. Ο κάθε ένας από τους δύο ρίχνει όλα τα κέρματά του (μια φορά) και κερδίζει όποιος έφερε τις περισσότερες κορώνες.
Ο Β πιστεύει ότι έχοντας περισσότερα κέρματα στα χέρια του θα καταφέρει πιο εύκολα να κερδίσει τον S. Έτσι επιλέγει ένα φθηνότερο νόμισμα το οποίο του επιτρέπει έχει περισσότερα κέρματα από τον S. Όντας όμως φτωχότερος από τον S ο Β καταφέρνει να έχει μόνο ένα κέρμα παραπάνω από τον S.
Πόσο επηρεάζεται η πιθανότητα να κερδίσει ο Β τον S από το γεγονός ότι έχει ένα κέρμα παραπάνω;
Προβλήματα Μαθηματικών 
Χμμ…υπό νορμάλ συνθήκες …λίγο έως καθόλου (αλλά σταματάω εδώ ,για να μην το χαλάσω για άλλους, καθώς το ξέρω το πρόβλημα αυτό) αλλά υπό τις παρούσες ΠΟΛΥ! O B είναι μεν game theory expert αλλά ο S είναι Rechtsanwalt! μπρρ..! (τι παθαίνει είπαμε ο τρελός όταν βλέπει το μεθυσμένο;)
Μου αρέσει!Αρέσει σε 1 άτομο
Σχόλιο από George Rizopulos — 30 Ιουνίου, 2015 @ 11:01 μμ
Εφόσον ο Β έχει ένα ακριβώς κέρμα παραπάνω από τον S, τότε αν τα ρίξουν όλα και οι δύο, ο Β θα φέρει διαζευκτικά ή περισσότερες κορώνες ή περισσότερα γράμματα. Θα συμβεί οπωσδήποτε ένα από τα δύο, αλλά αποκλείεται να συμβούν και τα δύο, αλλιώς ο Β θα έπρεπε να έχει τουλάχιστον 2 κέρματα περισσότερα από τον S. Έχουμε λοιπόν δύο αλληλοαποκλειόμενα και συμμετρικά ενδεχόμενα, άρα η πιθανότητα να φέρει ο Β περισσότερες κορώνες και έτσι να κερδίσει είναι 1/2. Το άλλο 1/2 είναι η πιθανότητα να φέρει ο Β περισσότερες γράμματα και έτσι να μην κερδίσει, πράγμα που μπορεί να συμβεί είτε αν φέρουν και οι δύο ίσες κορώνες και μία ακριβώς παραπάνω γράμματα ο Β (ισοπαλία) είτε να φέρει ο Β λιγότερες κορώνες και δύο τουλάχιστον παραπάνω γράμματα (κερδίζει ο S). Επομένως, με ένα ακριβώς παραπάνω κέρμα στον Β έχουμε:
Ρ(κερδίζει ο Β) = 1/2 > Ρ(κερδίζει ο S).
Αν όμως είχαν ίσους αριθμούς κερμάτων, θα ίσχυε προφανώς:
Ρ(κερδίζει ο Β) = Ρ(κερδίζει ο S) < 1/2.
Άρα το ένα παραπάνω κέρμα, ευνοεί τον Β. Το πόσο ακριβώς το ξέρει ελπίζω ο Γ.Ριζόπουλος, αλλά εξαρτάται νομίζω από το πόσα κέρματα έχει ο S. Με 0 κέρματα στον S και 1 κέρμα στον Β, ο S δεν κερδίζει ποτέ και ολόκληρο το άλλο 1/2, από αυτό που κερδίζει ο Β, είναι στην ισοπαλία. Όσο αυξάνονται τα κέρματα του S, παραμένοντας σταθερά κατά 1 λιγότερα από τα κέρματα του Β, τόσο συρρικνώνονται οι πιθανότητες της ισοπαλίας και τόσο πλησιάζουν προς το 1/2 οι πιθανότητες να κερδίσει ο S. Δεν φτάνουν όμως ποτέ στο 1/2, οπότε ο Β έχει πάντα ένα μικρό πλεονέκτημα έναντι του S.
Θα έλεγα ότι, σε νορμάλ συνθήκες, ο Β δεν θα έβρισκε κανέναν λογικό S πρόθυμο να βάλει αυτό το στοίχημα. Αν τον βρήκε, μάλλον άλλο είναι το πραγματικό στοίχημα και μάλλον ο Β έπαιξε σε λάθος παιχνίδι :-).
Μου αρέσει!Μου αρέσει!
Σχόλιο από ΘΑΝΑΣΗΣ ΠΑΠΑΔΗΜΗΤΡΙΟΥ — 1 Ιουλίου, 2015 @ 3:40 μμ
2: Πολύ σωστά.
Όμως νομίζω ότι μπορεί να υπολογιστεί (ως συνάρτηση φυσικά του
του πλήθους των νομισμάτων του S) το πλεονέκτημα του Β.
Μου αρέσει!Αρέσει σε 2 άτομα
Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — 1 Ιουλίου, 2015 @ 5:47 μμ
Νομίζω ότι το πλεονέκτημα του Β, δηλαδή η θετική διαφορά της πιθανότητας να κερδίσει μείον η πιθανότητα να χάσει είναι ακριβώς η πιθανότητα ισοπαλίας. Αν ο S έχει ν κέρματα και ο Β έχει ν+1, η ισοπαλία μπορεί να συμβεί αν και οι δύο φέρουν ίσες κορώνες, έστω κ στον αριθμό, με κ από 0 έως ν. Αν δε μου ξεφεύγει κάτι, αυτή η πιθανότητα είναι Σ[(C(ν+1,κ)*C(ν,κ)] / 2^(2ν+1), για κ από 0 έως ν.
Μου αρέσει!Μου αρέσει!
Σχόλιο από ΘΑΝΑΣΗΣ ΠΑΠΑΔΗΜΗΤΡΙΟΥ — 1 Ιουλίου, 2015 @ 6:25 μμ
4: Σωστος τυπος, αλλά απλοποιείται!
Μου αρέσει!Μου αρέσει!
Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — 1 Ιουλίου, 2015 @ 7:01 μμ
Νομίζω ότι ισχύει:
Σ[C(ν+1,κ)*C(ν,κ)] = Σ[C(ν+1,κ)*C(ν,ν-κ)] = C(2ν+1,ν), για κ από 0 έως ν, βάσει της ταυτότητας Vandermonde.
Θα μπορούσαμε να το ερμηνεύσουμε συνδυαστικά ως εξής: Η ισοπαλία προκύπτει παίρνοντας κ κορώνες από τα ν+1 νομίσματα του Β και ν-κ γράμματα από τα ν νομίσματα του s. Αλλά οι τρόποι να πάρουμε ν-κ γράμματα από τα ν νομίσματα του S είναι όσοι ακριβώς και οι τρόποι να πάρουμε ν-κ κορώνες από τα ίδια ν νομίσματα. Επομένως οι τρόποι της ισοπαλίας είναι όσοι και οι τρόποι να πάρουμε κ+(ν-κ)=ν κορώνες από (ν+1)+ν=2ν+1 νομίσματα, δηλαδή C(2ν+1,ν).
Επομένως, το πλεονέκτημα του Β απλοποιείται σε C(2ν+1,ν)/2^(2ν+1).
Μου αρέσει!Αρέσει σε 1 άτομο
Σχόλιο από ΘΑΝΑΣΗΣ ΠΑΠΑΔΗΜΗΤΡΙΟΥ — 2 Ιουλίου, 2015 @ 9:27 πμ
7: Πολύ σωστά, αυτός είναι ο τύπος.
Χαρακτηριστικό παράδειγμα «κλειστού τύπου» που είναι μάλλον άχρηστος, με την έννοια ότι δεν υπολογίζεται εύκολα και επίσης δε μας λέει τίποτα για την τάξη μεγέθους του.
Μήπως μπορείτε να βρείτε πόσο «περίπου» είναι το παραπάνω
, για μεγάλα 
τουλάχιστον;
Μου αρέσει!Μου αρέσει!
Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — 2 Ιουλίου, 2015 @ 10:38 μμ
7. Πώς μπορεί να είναι κάτι άλλο από το wlim(ATM-gr)-60 ;
Μου αρέσει!Μου αρέσει!
Σχόλιο από George Rizopulos — 2 Ιουλίου, 2015 @ 10:58 μμ
Περίπου
;
Μου αρέσει!Αρέσει σε 1 άτομο
Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — 2 Ιουλίου, 2015 @ 11:01 μμ