Προβλήματα Μαθηματικών

Ιουνίου 21, 2015

Αλυσίδα υποσυνόλων

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 10:54 μμ

Μια οικογένεια συνόλων την ονομάζουμε αλυσίδα αν οποιαδήποτε δύο σύνολα της οικογένειας είναι συγκρίσιμα, περιέχει δηλ. το πρώτο σύνολο το δεύτερο ή το δεύτερο περιέχει το πρώτο.

nested

Πόσα σύνολα μπορεί να περιέχει μια αλυσίδα υποσυνόλων ενός άπειρου συνόλου; Πιο συγκεκριμένα, υπάρχει άπειρο σύνολο κάθε αλυσίδα του οποίου να είναι αριθμήσιμη;

Advertisements

4 Σχόλια »

  1. Έστω ότι έχουμε ένα άπειρο σύνολο X.
    Κάθε αλυσίδα του X θα περιέχεται στο \mathcal{P}(X).
    Όμως το \mathcal{P}(X) θα περιέχει μη αριθμήσιμα σύνολα.
    Οπότε συμπεραίνουμε ότι δεν υπάρχει άπειρο σύνολο, κάθε αλυσίδα του οποίου να είναι αριθμήσιμη.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Dimitra Maniou — Ιουνίου 22, 2015 @ 8:45 μμ

  2. 1: Το δυναμοσύνολο {\mathcal P}(X) όντως είναι υπεραριθμήσιμο. Γιατί αυτό συνεπάγεται αυτό που λες;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Ιουνίου 23, 2015 @ 12:08 μμ

  3. Το συμπέρασμα στο πρώτο μου σχόλιο είναι λάθος.

    Το ξαναπροσπάθησα.

    Έστω ότι έχουμε ένα άπειρο σύνολο X.
    Αυτό θα έχει ένα άπειρο αριθμήσιμο υποσύνολο X'.
    Εφόσον το \mathbb{Q} είναι αριθμήσιμο, μπορούμε να πάρουμε μια αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση μεταξύ των X' και \mathbb{Q}.
    Ορίζουμε το σύνολο U_r=\{ x \in \mathbb{Q} \mid x<r\}, r \in \mathbb{R}.
    Το σύνολο \{ U_r: r \in \mathbb{R}\} είναι μια αλυσίδα αφού αν r<s τότε \{ x \in \mathbb{Q}: x<r\} \subset \{ x \in \mathbb{Q}: x<s \} και είναι μη αριθμήσιμο εφόσον τα U_r είναι διακεκριμένα και υπάρχει μη αριθμήσιμο πλήθος πραγματικών.
    Έχουμε μια αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση μεταξύ των X' και \mathbb{Q}, οπότε υπάρχει και μια αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση μεταξύ των \mathcal{P}(X') και \mathcal{P}(\mathbb{Q}). Εφόσον το \{ U_r: r \in \mathbb{R} \} είναι μια υπεραριθμήσιμη αλυσίδα στο \mathcal{P}(\mathbb{Q}) , υπάρχει μια αντίστοιχη μη αριθμήσιμη αλυσίδα στο \mathcal{P}(X'), η \{ U_{r'}: r \in \mathbb{R} \}, όπου U_{r'}=\{ x \in X': f(x)<r\}, όπου f: X' \to \mathbb{Q} η αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση.
    Στο \mathcal{P}(X') υπάρχει μη αριθμήσιμη αλυσίδα και \mathcal{P}(X') \subset \mathcal{P}(X) .Αυτό σημαίνει ότι υπάρχει μη αριθμήσιμη αλυσίδα στο \mathcal{P}(X).
    Οπότε έχουμε ότι υπάρχει μια υπεραριθμήσιμη οικογένεια συνόλων έτσι ώστε οποιαδήποτε δύο σύνολα της οικογένειας να είναι συγκρίσιμα.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Dimitra Maniou — Ιουνίου 24, 2015 @ 11:32 πμ

  4. 3: Πολύ σωστά, και καλογραμμένα.

    Από άποψη λοιπόν πληθικότητας όλα τα αριθμήσιμα σύνολα είναι ίδια. Φτιάχνουμε λοιπόν τις, υπεραριθμήσιμες σε πλήθος, αλυσίδες μας στο {\mathbb Q} και αυτόματα τις έχουμε και σε οποιοδήποτε άλλο αριθμήσιμο σύνολο, άρα και σε οποιοδήποτε άπειρο σύνολο.

    Όλα τα άπειρα σύνολα λοιπόν έχουν αλυσίδες με τόσα σύνολα μέσα τους όσοι και οι πραγματικοί αριθμοί.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Ιουνίου 24, 2015 @ 11:36 πμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Δημιουργήστε ένα δωρεάν ιστότοπο ή ιστολόγιο στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: