Προβλήματα Μαθηματικών

Ιουνίου 18, 2015

Απεριοδική Πλακόστρωση

Filed under: Άλυτα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 6:40 μμ

lattice-set

Κατασκευάστε σύνολα A, B \subseteq {\mathbf Z}^2 τέτοια ώστε

  1. Το σύνολο A είναι πεπερασμένο,
  2. Κάθε u \in {\mathbf Z}^2 γράφεται κατά μοναδικό τρόπο ως άθροισμα
    u = a +b, με a \in A, b \in B,
  3. Δεν υπάρχει διάνυσμα u \in {\mathbf Z}^2\setminus\{0\} τέτοιο ώστε B = B+u.

Το παρακάτω το είχα αναρτήσει το 2008 και κανείς δεν έκανε το παραμικρό. Το φέρνω λοιπόν πάνω μήπως και έχει καλύτερη τύχη τώρα.

Advertisements

12 Σχόλια »

  1. Για να βοηθήσω η διαίσθησή σας, το σύνολο A το φανταζόμαστε σαν ένα (όχι κατ’ ανάγκη συνεκτικό) πλακάκι, όπως αυτό που φαίνεται στο σχήμα (τα τετραγωνάκια έχουν πλευρά 1). Το σύνολο B το φανταζόμαστε ως τις θέσεις στις οποίες μεταφέρουμε αυτό το «πλακάκι».

    Η συνθήκη 2 μας λέει ότι τα πλακάκια A μεταφερμένα στις θέσεις B καλύπτουν κάθε σημείο του επιπέδου χωρίς αλληλοεπικαλύψεις.

    Η άρνηση της συνθήκης 3 θα ήταν ότι η κάλυψη που σχηματίζεται έχει μια περίοδο u \in {\mathbb Z}^2. Αν δηλαδή μεταφέρουμε όλα τα πλακάκια κατά το διάνυσμα u τότε παίρνουμε ξανά την ίδια ακριβώς κάλυψη.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Ιουνίου 18, 2015 @ 7:04 μμ

  2. Kανα Νομπελάκι παίζει, άμα το λύσουμε αυτό; Ή μάς πρόλαβε κανας Κβαζιτέτοιος;… 😉

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από George Rizopulos — Ιουνίου 18, 2015 @ 8:41 μμ



  3. Aν με δικαιώσει ο Μιχάλης, πρέπει να είναι ρεκόρ! 🙂 Mε μόνο δύο εικόνες και καθόλου λόγια ,νομίζω πως «έλυσα» 2 προβλήματα. Το παρόν και αυτό:
    https://kolount.wordpress.com/2012/01/16/%CF%83%CF%85%CE%BC%CE%BC%CE%B5%CF%84%CF%81%CE%AF%CE%B5%CF%82-%CF%80%CE%B5%CF%81%CE%B9%CE%BF%CE%B4%CE%B9%CE%BA%CF%8E%CE%BD-%CF%83%CF%85%CE%BD%CF%8C%CE%BB%CF%89%CE%BD/

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από George Rizopulos — Ιουνίου 18, 2015 @ 10:02 μμ

  4. 3: Δε βλέπω τι σχέση έχουν τα σχήματα αυτά, ειδικά με το πρόβλημα αυτό.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Ιουνίου 18, 2015 @ 10:06 μμ

  5. Με τα δύα αυτά πλακάκια (που είναι του μεγάλου Ρότζερ Πένροουζ ) σιάζουμε απεριοδική πλακόστρωση. (non-periodic tiling ) ή quasi crystal tiling. Αυτό δεν ήταν το ζητούμενο;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από George Rizopulos — Ιουνίου 18, 2015 @ 10:12 μμ

  6. Αυτό ζητάω; Κατ’ αρχήν δε μιλώ καν για πολύεδρα ή πολύγωνα αλλά για υποσύνολα του {\mathbb Z}^2.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Ιουνίου 18, 2015 @ 10:16 μμ

  7. Α, παρντόν! Τώρα πρόσεξα τον περιορισμό στον κάναβο του Ζ^2 . 😳

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από George Rizopulos — Ιουνίου 18, 2015 @ 10:16 μμ

  8. Aυτό πιάνεται; Substitution tiling. Το στοιχειώδες καρεκλάκι είναι στο Z^2 (2x2x1x1x1x1)

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από George Rizopulos — Ιουνίου 18, 2015 @ 10:24 μμ

  9. 8: Ποιο είναι το σύνολο A και ποιο το σύνολο B;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Ιουνίου 18, 2015 @ 11:08 μμ

  10. Καλημέρα. Μια ερώτηση Μιχάλη. Αν «καταστρέψουμε» την περιοδικότητα στον έναν άξονα, ας πούμε κατά x, είμαστε ο.κ.; Πρέπει να μην έχει το σύνολο Α καθόλου περίοδο; (και κατά x ,και κατά y);
    Ρητορική η ερώτηση, μάλλον…απλώς είπα μπας και…γιατί έχω βρει εύκολο τρόπο να μην υπάρχει translation κατά τον ένα άξονα , αλλά στο να μην έχει καθόλου περίοδο, κολλάω.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από George Rizopulos — Ιουνίου 20, 2015 @ 9:29 πμ

  11. 10: Το να μην έχεις παρά μόνο σε ένα άξονα περίοδο είναι εύκολο, ακόμη κι αν το σχήμα σου είναι ένα τετράγωνο. Όμως το τετράγωνο πάντα έχει τουλάχιστον ένα διάνυσμα που είναι περίοδος.

    Η ουσία της άσκησης είναι να φτιάξεις ένα σύνολο και μια πλακόστρωση με αυτό που δεν έχει καμία περίοδο.

    Δεν είναι δύσκολο αλλά θέλει φαντασία.

    Αρέσει σε 1 άτομο

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Ιουνίου 20, 2015 @ 2:43 μμ

  12. Υπόδειξη:

    Βρείτε ένα σύνολο A_1 που να δίνει πλακόστρωση με μεταφορές κατά το σύνολο B_1, όπου το σύνολο B_1 να έχει σύνολο περιόδων (διανύσματα u που πληρούν το 3. παραπάνω) μόνο της μορφής (nT_1, 0), n \in {\mathbb Z}.

    Κάντε το ίδιο με κάποιο άλλο σύνολο που να δίνει κάποια πλακόστρωση περιοδική μόνο κατά διανύσματα του τύπου (0, nT_2), n \in {\mathbb Z}.

    Τέλος βρείτε ένα τρόπο να συγχωνεύσετε τις δύο πλακοστρώσεις ώστε η μια να καταστρέφει τις περιόδους της άλλης.

    Αρέσει σε 1 άτομο

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Ιουνίου 21, 2015 @ 7:51 μμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Δημιουργήστε ένα δωρεάν ιστότοπο ή ιστολόγιο στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: