Προβλήματα Μαθηματικών

Ιουνίου 16, 2015

Μικρό σύνολο, όπου υπάρχουν όλες οι αποστάσεις

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 12:08 μμ

Κατασκευάστε ένα σύνολο E \subseteq {\mathbb R} που να είναι μια ένωση διαστημάτων με συνολικό μήκος το πολύ 1

intervals

και τέτοιο ώστε για κάθε πραγματικό αριθμό d να υπάρχουν δύο στοιχεία x, y \in E με

x-y=d.

Advertisements

19 Σχόλια »

  1. \bigcup_{n=1}^{\infty}{\Big(\frac{n+2}{n+1},\frac{n+1}{n}\Big)};

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — Ιουνίου 16, 2015 @ 12:39 μμ

  2. 1: Το σύνολο αυτό είναι φραγμένο. Δε μπορεί ένα φραγμένο σύνολο να περιέχει αρκετά μεγάλες αποστάσεις ανάμεσα στα σημεία του.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Ιουνίου 16, 2015 @ 2:40 μμ

  3. Νομίζω ότι όπως ορίζει το σύνολο Ε ο Κωνσταντίνος, έχει μεν μήκος όχι μεγαλύτερο του 1, αλλά οι διαφορές χ-ψ που μπορεί να δώσει είναι από -1 το λιγότερο μέχρι 1 το πολύ.
    Θα πρότεινα, στην ίδια γραμμή, αντί να πάρουμε τα διαστήματα όπως ορίζονται στο σχόλιο 1, να πάρουμε και να ενώσουμε τα διαστήματα [n+1/(n+1), n+1/n], για όλα τα n από 1 έως ∞.
    Με αυτό τον τρόπο, όλοι οι αριθμοί που περιέχονται σε κάθε τέτοιο διάστημα έχουν το ίδιο ακέραιο μέρος, αλλά διαφορετικό από τους αριθμούς οποιουδήποτε άλλου διαστήματος, καλύπτοντας έτσι όλους τους ακεραίους, ενώ τα μη ακέραια μέρη κάθε διαστήματος καλύπτουν το καθένα πλήρως διαφορετικό υποδιάστημα του (0,1) και συνολικά όλους τους μη ακέραιους αριθμούς από 0 έως 1.
    Έτσι, υπάρχουν άπειρα ζευγάρια διαστημάτων που μπορούν να δώσουν οποιαδήποτε ακέραια διαφορά και ανάμεσά τους υπάρχει ζευγάρι, στο οποίο περιέχεται κάποιος πραγματικός χ στο ένα διάστημα και κάποιος ψ στο άλλο, τέτοιοι που η διαφορά τους να δίνει οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό d θέλουμε.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από ΘΑΝΑΣΗΣ ΠΑΠΑΔΗΜΗΤΡΙΟΥ — Ιουνίου 16, 2015 @ 2:56 μμ

  4. 3: Καλή προσπάθεια αλλά δεν το έχω καταλάβει ακόμη πλήρως. Π.χ. το 2 που πιάνεται ως διαφορά;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Ιουνίου 16, 2015 @ 3:04 μμ

  5. \bigcup_{n=1}^{\infty}{\Big(n-\frac{n}{n+100},n+\frac{n}{100}\Big)}

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — Ιουνίου 16, 2015 @ 4:42 μμ

  6. Είναι λάθος, συγνώμη.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — Ιουνίου 16, 2015 @ 4:45 μμ

  7. \bigcup_{n=1}^{\infty}{\Big(n-\frac{1}{n+10^6},n+\frac{1}{10^6 \cdot n}\Big)}

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — Ιουνίου 16, 2015 @ 4:55 μμ

  8. Έστω q(1),q(2),… μια αρίθμηση των ρητών με q(1)=0 τότε το σύνολο Α είναι το ζητούμενο!

    Α=⋃[q(n) , q(n)+(1/2)^n] (U ένωση για n από 1 μέχρι άπειρο)

    Είναι προφανές ότι το άθροισμα των μηκών των διαστημάτων είναι ακριβώς 1. Ενώ κάθε αριθμός d γράφεται σαν διαφορά δύο αριθμών αυτού του συνόλου. Κάθε ρητός γράφεται σαν διαφορά δύο στοιχείων αυτού του συνόλου, θα δείξουμε πως ισχύει το ίδιο και για κάθε άρρητο.

    Έστω άρρητος αριθμός s=5,258… Τότε ο 0,258… ανήκει στο σύνολο οπότε οι αριθμοί x = -5 και y = s-5 (= 0,258…) μου δίνουν τη ζητούμενη διαφορά.

    Έστω άρρητος αριθμός s’=5,742… Τότε ο 1 – 0,723… ανήκει στο σύνολο οπότε οι αριθμοί x = 6 και y = 1 – 0,723… μου δίνουν τη ζητούμενη διαφορά.

    Εν συντομία δεν έχει σημασία αν ο άρρητος έχει δεκαδικό μέρος μεγαλύτερο ή μικρότερο του 0,5

    (Συγχωρήστε με αλλά δεν ξέρω πώς να εισάγω μαθηματικά σύμβολα)

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Charidimos Kiosterakis — Ιουνίου 16, 2015 @ 6:30 μμ

  9. 7: Γιατί να το πιστέψουμε; Μπορείς να το αποδείξεις;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Ιουνίου 16, 2015 @ 6:41 μμ

  10. 8: Πού χρησιμοποιεί η απόδειξή σου τη μορφή του συνόλου σου; Γιατί 1/2^n και όχι 1/(100\cdot n^2) για τα μήκη των διαστημάτων; Η απόδειξή σου ότι και η άρρητοι εμφανίζονται ως διαφορές δε νομίζω ότι ισχύει. Π.χ., γιατί είναι το y=s-5 στο σύνολό σου;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Ιουνίου 16, 2015 @ 6:48 μμ

  11. Επειδή 0<0,258<1/2 και το πρώτο μου διάστημα έιναι το [0,1/2]

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Charidimos Kiosterakis — Ιουνίου 16, 2015 @ 7:18 μμ

  12. 7: Επίσης, το σύνολο που γράφεις έχει άπειρο συνολικό μήκος.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Ιουνίου 16, 2015 @ 7:20 μμ

  13. Η μορφή του συνόλου είναι απλά τέτοια ώστε το [0,1/2] να υπάρχουν μέσα όλοι οι ρητοί και το μέτρο του συνόλου να είναι 1. Δεν ισχυρίστηκα πώς πάντα το s – ακέραιο μέρος του s ανήκει στο σύνολο αυτό συμβαίνει μόνο όταν το δεκαδικό μέρος του s είναι μικρότερο ή ίσο του 1/2 αν αυτό δεν ισχύει τότε το 1 – δεκαδικό μέρος του s ανήκει στο σύνολο αφού ανήκει στο [0,1/2]

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Charidimos Kiosterakis — Ιουνίου 16, 2015 @ 7:25 μμ

  14. 8: Σωστά, τώρα βλέπω τι εννοείς. Αλλά θα έπρεπε να το είχες γράψει λίγο πιο καθαρά.

    Όμως ας προσπαθήσουμε να το απλουστεύσουμε.

    Πόση σημασία έχει το ότι τα πλάτη των διαστημάτων είναι αυτά που γράφεις; Θα μπρούσε να ήταν π.χ. 2^{-2^{n}} τα πλάτη τους;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Ιουνίου 16, 2015 @ 7:25 μμ

  15. Το σύνολο μου έχει μέτρο 1.
    Ακόμα θα μπορούσαμε να πάρουμε ένα σύνολο που απλά περιέχει όλους τους ακεραίους και το διάστημα [0,1/2]
    Στην πραγματικότητα αρκεί ένα σύνολο μέτρου 1/2

    Για κάθε ε μπορώ να βρώ ένα σύνολο μέτρου 1/2+ε που να ικανοποιεί αυτά που ζητάτε.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Charidimos Kiosterakis — Ιουνίου 16, 2015 @ 7:32 μμ

  16. Και γιατί όχι με μέτρο μικρότερο του 1/2;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Ιουνίου 16, 2015 @ 7:33 μμ

  17. Πιστεύω πως αυτό δεν γίνεται όμως δεν είμαι σε θέση να το αποδείξω άμεσα. Αν βρω απόδειξη θα την γράψω!

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Charidimos Kiosterakis — Ιουνίου 16, 2015 @ 8:02 μμ

  18. Τελικά το σύνολο μπορεί να είναι οσοδήποτε μικρό θέλουμε να είναι!

    Έστω το σύνολο [-0.01,0] U Q (Το μέτρο του είναι μόλις 0.01)
    Το παραπάνω σύνολο γράφει κάθε αριθμό σαν διαφορά δύο στοιχείων του, αναλυτικότερα:

    Έστω αριθμός s άρρητος και συγκεκριμένα έστω s=2.3245…
    s = 2.32 – (-0.0045…)
    2.32 ρητός και -0.01 < -0.0045… < 0 οπότε το -0.0045… είναι στοιχείο του συνόλου.

    Παρατηρήσεις:
    Ο αριθμός s είναι αυθαίρετος και για την κανονική απόδειξη θα πρέπει να χρησιμοποιηθεί δεκαδικό ανάπτυγμα με τα ψηφία του να είναι μεταβλητές.
    Επίσης δεν δικαιούμαι να πάρω τους ρητούς αριθμούς στο σύνολο αφού μου ζητάει ένωση διαστημάτων όμως το πρόβλημα αυτό αντιμετωπίζεται με το να κολλήσουμε σε κάθε ρητό ένα διάστημα κατάλληλα μικρού μήκους.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Charidimos Kiosterakis — Ιουνίου 17, 2015 @ 6:16 πμ

  19. 18: Σωστά. Αν πάρουμε οποιοδήποτε διάστημα (οσοδήποτε μικρό) ένωση με ένα αριθμήσιμο σύνολο (που έχει άρα μέτρο 0) που είναι πυκνό στο {\mathbb R} τότε το σύνολο αυτό ορίζει όλες τις αποστάσεις. Αν θέλουμε σώνει και καλά να πάρουμε σύνολο από διαστήματα και όχι σύνολο από σημεία, και είμαστε διατεθειμένοι να «πληρώσουμε» μήκος \epsilon>0 τότε απλά βάζουμε κάθε σημείο x_n του πυκνού αυτού συνόλου μέσα σε ένα διάστημα μήκους \epsilon/2^n, n=1,2,\ldots, και έχουμε ένα σύνολο που περιέχει το προηγούμενο (άρα εξακολουθεί να ορίζει όλες τις αποστάσεις) και είναι μόλις κατά

    \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{4} + \frac{\epsilon}{8} + \cdots = \epsilon

    μεγαλύτερο από πριν.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Ιουνίου 17, 2015 @ 7:31 πμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Δημιουργήστε ένα δωρεάν ιστότοπο ή ιστολόγιο στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: