Προβλήματα Μαθηματικών

Ιουνίου 12, 2015

Το περπάτημα του μεθυσμένου

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 5:13 μμ

Κάποιος που έχει πιει πολύ και μόλις βγήκε από το bar περπατάει με τον παρακάτω περίεργο τρόπο.

walk

Σε κάθε χρονική στιγμή κάνει πρώτα μια στροφή κατά a=10 μοίρες γύρω από το σημείο όπου βρίσκεται η πόρτα του bar και αμέσως μετά κινείται κατά το σταθερό διάνυσμα v. Και ξανά στροφή γύρω από την πόρτα του bar κατά 10 μοίρες και πάλι μετακίνηση κατά το διάνυσμα v.

Τι νομίζετε ότι θα συμβεί μακροπρόθεσμα στην κίνηση του μεθυσμένου; (Αγνοείστε φυσικά τν ύπαρξη οποιωνδήποτε εμποδίων στην κίνηση αυτή.)

Advertisements

29 Σχόλια »

  1. Mιχάλη , η στροφή είναι πάντα αντιωρολογική ,όπως στο σχήμα, ή όχι;
    [δεν είμαι και σίγουρος ότι η ερώτηση …αλλά τώρα την έκανα και πάει! 🙂 ]

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από George Rizopulos — Ιουνίου 12, 2015 @ 5:47 μμ

  2. Ναι, όπως φαίνεται στο σχήμα.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Ιουνίου 12, 2015 @ 5:48 μμ

  3. Η απάντηση προφανώς θα εξαρτάτε από τη διεύθυνση του διανύσματος.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — Ιουνίου 12, 2015 @ 5:48 μμ

  4. Επίσης, το «μακροπρόθεσμα» έχει και …χωρική έννοια εκτός από χρονική; Θεωρούμε δηλαδή κίνηση πάνω στη Γήινη σφαιρική (κατά προσέγγιση) επιφάνεια ή infinite plane?

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από George Rizopulos — Ιουνίου 12, 2015 @ 5:50 μμ

  5. «εποικοδομητική ασάφεια»

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Ιουνίου 12, 2015 @ 5:51 μμ

  6. 5. αχά! 🙂

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από George Rizopulos — Ιουνίου 12, 2015 @ 5:53 μμ

  7. Ο παράγοντας τριβή λαμβάνετε υπόψιν; Επίσης το \vec{v} είναι έτσι όπως φαίνεται στο σχήμα;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — Ιουνίου 12, 2015 @ 6:00 μμ

  8. Θα σχηματισει ενα κανονικο 36γωνο και θα επιστρεψει στο μπαρ για ενα ποτο! Σωστα?

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Γιώργος Παπακυριακού — Ιουνίου 12, 2015 @ 6:15 μμ

  9. Στριβοντας 10 μοιρες αριστερα δημιουργει μια γωνια 170 μοιρων σε σχεση με το τελος του προηγουμενου διανυσματος (180-10) εφοσον το μετρο του διανυσματος ειναι σταθερο, το πολυγωνο εχει ισες ολες τις πλευρες, οπως ειπα στην προηγουμενη προταση εχει ισες και ολες τις γωνιες. Η γωνια του κανονικου πολυγωνου ειναι παραπληρωματικη με την κεντρικη γωνια του πολυγωνου η οποια προφανως ειναι 10 μοιρων. 360/10=36 αρα προκειτε για κανονικο 36γωνο! Οποτε η πρωτη κορυφη θα ειναι και η τελευταια, αφου φτανοντας ξανα στην πορτα του μπαρ το καλυτερο που εχει να κανει ειναι να πιει μερικα ποτα ακομα! Σωστα?

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Γιώργος Παπακυριακού — Ιουνίου 12, 2015 @ 6:22 μμ

  10. 9. Δεν είναι έτσι.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Ιουνίου 12, 2015 @ 6:32 μμ

  11. Η μηπως εννοειτε πως σε πρωτο χρονο διανυει ενα τοξο 10 μοιρων, και οχι οτι στριβει γυρω απο τον εαυτο του? Οποτε το προβλημα γινεται πολυ δυσκολοτερο..? Σε αυτη την περιπτωση αυτο που εχω να παρατηρισω ειναι οτι τα τοξα ολο και θα μεγαλωνουν σε μηκος καθως θα απομακρυνεται απο το κεντρο (πορτα του μπαρ).

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Γιώργος Παπακυριακού — Ιουνίου 12, 2015 @ 6:38 μμ

  12. Να ξεκαθαρίσω ότι πάντα η στροφή είναι κατά την ίδια γωνία (10 μοίρες αν και ο ακριβής αριθμός δεν έχει ιδιαίτερη σημασία) με κέντρο ένα σταθερό σημείο, την πόρτα του bar. Και επίσης η μετακίνησή του είναι πάντα κατά το ίδιο διάνυσμα v.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Ιουνίου 12, 2015 @ 7:29 μμ

  13. Εκανα την κατασκευη στο geogebra, δεν ξερω πως να την επισυναψω εδω. Δεν θα ειχε βεβαια και μεγαλη αξια χωρις το ‘γιατι γινεται αυτο’. Παντως θα μου επιτρεψεται να βοηθισω τους υπολοιπους και να πω πως μετα απο 36 διανυσματα ο φιλος μας θα επιστρεψει οντως στο μπαρ! Σωστα?

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Γιώργος Παπακυριακού — Ιουνίου 12, 2015 @ 7:32 μμ

  14. 13. Δεν είναι έτσι. Μπορεί να έτυχε να διάλεξες τέτοια αρχική θέση και διάνυσμα v που να συνέβη κάτι τέτοιο αλλά αυτό δε συμβαίνει πάντα.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Ιουνίου 12, 2015 @ 7:47 μμ

  15. Ελικοειδής κίνηση με αυτοτομές αρχικά, και τελικά περιστροφή γύρω από ένα σημείο;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — Ιουνίου 12, 2015 @ 8:15 μμ

  16. Τελικά περιστροφή γύρω από την περιφέρεια ενός κύκλου κατά προσέγγιση.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — Ιουνίου 12, 2015 @ 8:19 μμ

  17. Επιστρεφει μετα απο ακριβως εναν ‘κυκλο’ οταν το α (οι μοιρες) εχει την ιδιοτητα $ \frac{360}{a} \in \mathbb{N} $ οταν δεν εχει αυτη την ιδιοτητα εικαζω οτι επιστρεφει στο μπαρ μετα απο καποιους ‘κυκλους’ μετα απο τοσα βηματα οσο και το ελαχιστο κοινο πολ/σιο του α και του 360. Το μετρο και διευθυνση του διανυσματος δεν παιζουν κανενα ρολο .

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Γιώργος Παπακυριακού — Ιουνίου 12, 2015 @ 9:48 μμ

  18. 17. Μια διορθωση, μετα απο τοσα βηματα οσο και το (Ε.Κ.Π.(α,360))/360

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Γιώργος Παπακυριακού — Ιουνίου 12, 2015 @ 10:25 μμ

  19. 18. Συγγνωμη τοσοι ειναι οι κυκλοι. Πχ με 8 μοιρες φτανει παλι στο μπαρ μετα απο ενα κυκλο και 45 βηματα. Με 16 μοιρες φτανει μετα απο 2 κυκλους και 45 βηματα. 360=2³3²5, 8=2³ , 16=2⁴ οποτε εκπ(360,8)=360 και 360/360=1, ενω εκπ(360,16) =720 και 720/360=2. Βεβαιως το αποτελεσμα των 2 παραδειγματων, αν το βλεπαμε εκ των υστερων ως το σημαδι που αφηνει πισω του ο φιλος μας θα ειχε ακριβως το ιδιο αποτελεσμα.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Γιώργος Παπακυριακού — Ιουνίου 12, 2015 @ 10:57 μμ

  20. Ας κάνω το ερώτημα πιο συγκεκριμένο:

    Αποδείξτε ότι όποια και αν είναι η αρχική θέση του μεθυσμένου, όποια και να είναι η (θετική) γωνία περιστροφής και όποιο και να είναι το διάνυσμα μεταφοράς v ο μεθυσμένος κινείται πάντα πάνω σε ένα κύκλο. Βρείτε το κέντρο του κύκλου αυτού και την ακτίνα του.

    Αυτά όλα θα εξαρτώνται από το διάνυσμα v, τη γωνία περιστροφής a και την αρχική θέση του μεθυσμένου (που δεν είναι κατ’ ανάγκη η πόρτα του bar).

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Ιουνίου 13, 2015 @ 12:59 πμ

  21. Μιχάλη, μια ερώτηση; Γιατί τονίζεις στο σχόλιο 20. το «(θετική) γωνία περιστροφής» ; Αν η περιστροφή ήταν ωρολογιακή ,θα άλλαζε κάτι; Έχει να κάνει μήπως με κάποια υπολογιστική δυνατότητα σε σχέση π.χ με τους πίνακες των αφινικών μετασχηματισμών;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από George Rizopulos — Ιουνίου 15, 2015 @ 8:26 πμ

  22. Nα εξηγήσω λίγο τις σκέψεις μου σε σχέση με το τέλος του 21. Η περιστροφή κατά γωνία α και η μετακίνηση κατά σταθερό διάνυσμα V, ως συνδυασμός δύο Ευκλείδειων μετασχηματισμών απεικονίζουν κύκλους σε κύκλους. Αν δεν λαθεύει η διαίσθησή μου , ο μεθυσμένος θα καταλήξει στο αρχικό του σημείο. Το κέντρο (άρα και η ακτίνα ) αυτού του κύκλου ,δεν έχω καταλήξει πώς θα προσδιοριστεί. Διαισθητικά , αναλόγως του μέτρου και της διεύθυνσης του V θα ποικίλλει από την πόρτα (στην οριακή περίπτωση που V=0 ) έως κάποια απόσταση μικρή ή μεγάλη.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από George Rizopulos — Ιουνίου 15, 2015 @ 8:50 πμ

  23. 21,22: Απλά η γωνία δεν πρέπει να είναι μηδενική γιατί τότε κινείται προφανώς πάνω σε μια ευθεία με κατεύθυνση v.

    Δεν επιστρέφει πάντα στο αρχικό σημείο. Παράδειγμα αυτής της περίπτωσης όταν v=0 και η γωνία a είναι άρρητο πολλαπλάσιο του π.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Ιουνίου 15, 2015 @ 9:14 πμ

  24. 23. Ναι σωστά. Θα διέλθει όμως από το αρχικό σημείο. («διέλθει» ήταν η σωστή έκφραση ,κι όχι «καταλήξει»). Σωστά;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από George Rizopulos — Ιουνίου 15, 2015 @ 9:23 πμ

  25. Υπόδειξη: Ας είναι z_n \in {\mathbb C} η θέση του μεθυσμένου τη n-οστή χρονική στιγμή ως μιγαδικός αριθμός. Ας πούμε επίσης ότι η πόρτα του bar είναι στη θέση 0 του μιγαδικού επιπέδου. Η στροφή γύρω από την πόρτα κατά τη γωνία a είναι ο μιγαδικός πολλαπλασιασμός με e^{ia}. Η μετακίνηση κατά το διάνυσμα v είναι η πρόσθεση του μιγαδικού αριθμού v.

    Εκφράστε το z_{n+1} μέσω του z_n και των a, v.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Ιουνίου 16, 2015 @ 1:56 μμ

  26. Στροφή Rotation R .Mε & συμβολίζω τον κύκλο δηλαδή το σύμβολο .Ως γνωστό οι μετασχηματισμοί γίνονται «από δεξιά προς αριστερά». Με Τ (translation) τη μεταφορά . Ετσι με Τv συμβολίζω μια μεταφορά κατά διάνυσμα V.
    Eτσι ένα μιγαδικός z απεικονίζεται στον Τv(z)=z+V
    Συμβολίζω R (Π a) τη στροφή κατά γωνία a γώρψ από το σημείο Π (=πόρτα του μπαρ).
    Μια στροφή γύρω από την αρχή Ο των μιγαδικών αξόνων κατα γωνία θ μπορεί να γραφτεί: R (O θ)(z)=e^ia z
    Mια στροφή γενικότερα R (Π a) αναλύεται στα εξής βήματα διαδοχικα:
    1. μεταφορά (translation) του Π στο Ο
    2. στροφή (rotation) περί το Ο κατά γωνία a
    3. μεταφορά πίσω στο Π.
    Θα έχουμε: R (Π a)=(Tπ & R (O a) & Τπ(^-1))(z) = e^ia (z-π)+π = e^ia z +κ (όπου κ=π(1-e^ia)
    Mια στροφή δηλαδή γύρω από ένα οποιοδήποτε σημείο μπορεί να εκφραστεί ως στροφή γύρω από την αρχή ακολοθούμενη από μία translation.
    Aντιστρόφως (και στο προκείμενό μας) ,μια στροφή κατά γωνία a γύρω από το Ο=Π που ακολοθείται από μια μεταφορά κατά διάνυσμα V μπορεί πάντα να αναχθεί σε μία και μόνη στροφή ως προς άλλο κέντρο ,έστω C. Ήτοι: Tv*R(π a)=R(c a) , όπου C=v/(1-e^ia)
    Aπόδειξη: Iσχύει R(π a)(z)=e^ia z
    Tv&R(π a)(z)= Τv(e^ia z)= e^ia z +v
    R (C a)(z)= e^ia z+C(1-e^ia)= e^iaz +[ v/(1-e^ia)]*(1-e^ia)= Tv & R(π a)(z). ΟΕΔ.

    Υγ. Νομίζω ότι έχω καταλήξει και σε καθαρά γεωμετρική λύση-ερμηνεία και κατασκευή, αναλύοντας τη στροφή σε 2 reflections (α/2 και α/2 γωνίες ) και την μεταφορά κατα V σε πάλι 2 reflections ως προς 2 παράλληλες ευθείες απέχουσες V/2 και κάθετες στον άξονα του V (άλλα θέλει λίγη δουλειά ακόμα).

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από George Rizopulos — Ιουνίου 16, 2015 @ 3:15 μμ

  27. 26: Πολύ ωραία και σωστή λύση και απλούστερη από αυτή που είχα υπόψιν μου, αν και ο τρόπος που είναι γραμμένη την κάνει δυσνόητη. Την ξαναγράφω απλουστευμένη:

    Χρησιμοποιούμε μιγαδικούς αριθμούς για να παραστήσουμε σημεία.

    Για να στρίψουμε ένα σημείο z \in {\mathbb C} γύρω από ένα κέντρο k \in {\mathbb C} κατά γωνία a \in {\mathbb R} έχουμε το μετασχηματισμό

    z \to e^{ia}(z-k)+k,

    που, μετά από πράξεις γράφεται και ως

    z \to e^{ia}z+k(1-e^{ia}).

    Από την άλλη μεριά ο μετασχηματισμός που κάνει ο μεθυσμένος σε κάθε βήμα είναι ο

    z \to e^{ia}z+v,

    όπως περιγράφεται από το πρόβλημα.

    Αν λοιπόν επιλέξουμε το σημείο k ώστε να ισχύει k(1-e^{ia}) = v τότε ο μετασχηματισμός του μεθυσμένου είναι απλά στροφή κατά a γύρω από αυτό το σημείο. Η παραπάνω εξίσωση δίνει k = \frac{v}{1-e^{ia}} και το συμπέρασμα είναι ότι ο μεθυσμένος σε κάθε βήμα περιστρέφεται κατά γωνία a γύρω από αυτό το σημείο.

    Μια απλή παρατήρηση εδώ είναι ότι αν το a είναι άρρητος τότε ο μεθυσμένος δεν πατάει ποτέ δεύτερη φορά στο ίδιο σημείο. Αντίθετα, αν το a είναι ρητός τότε ο μεθυσμένος κινείται πάνω στις κορυφές ενός κανονικού πολυγώνου.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Ιουνίου 17, 2015 @ 7:25 πμ

  28. Mιχάλη, ζητώ συγγνώμη για την ταλαιπωρία στην οποία εμμέσως σε υπέβαλα, αλλά έχω καιρό να γράψω σε Λατεξ και φοβήθηκα ότι θα κιτρίνιζε ο τόπος από τα «formula does not parse » … 🙂
    Aς μού επιτραπεί μια επέκταση του ενδιαφέροντος θέματος και μια γεωμετρική προσέγγιση (δυστυχώς χωρίς σχήμα,αλλά θα περιγράψω με λόγια).
    Οι περιστροφές (rotations) και οι μεταφορές (translations) είναι ισομετρίες (isometries) και συνιστούν group. (ή καλύτερα subgroup)
    Ουσιαστικά ,το βασικό που ελέγχεται σχετικά είναι η closure («κλειστότητα» ?)
    Η σύνθεση 2 περιστροφών (όχι κατ’ανάγκη περί το ίδιο κέντρο) δείχνεται εύκολα -και αλγεβρικά με πίνακες ή μιγαδικούς, και γεωμετρικά- ότι είναι μια περιστροφή επίσης (εκτός αν το άθροισμα των δύο γωνιών είναι 2π ,οπότε είναι μεταφορά (translation) .
    Yπάρχουν άλλες 3 δυνατότητες: To product δύο μεταφορών, Μια περιστροφή ακολουθούμενη από μια μεταφορά (το πρόβλημα του μεθυσμένου δηλαδή) και μια μεταφορά ακολουθούμενη από μια περιστροφή.
    Για την 1η δυνατότητα δεν τίθεται ζήτημα. Όλοι ξέρουμε ότι δύο μεταφορές ισοδυναμούν με μια τρίτη (πρόσθεση διανυσμάτων).
    Για τη 2η περίπτωση (μεθυσμένο) μπορούμε να δούμε και την εξής γεωμετρική κατασκευή. Δεδομένου ενός κέντρου περιστροφής Π και μιας γωνίας περιστροφής a ,φέρνουμε από το Π ευθεία έστω ε παράλληλη στο διάνυσμα. Κατασκευάζουμε παράλληλες ευθείες έστω μ και ν κάθετες στην ε , με την μ να περνάει από την αρχή Π και την απόσταση μεταξύ μ και ν να είναι V/2.
    Aς φέρουμε την ευθεία π από το Π τέτοια ώστε σ(μ)&σ(π)=R(Π a). M’αυτόν τον τρόπο παίρνουμε τη μεταάθεση: σν&σμ=Τνμ
    Αρα, Τνμ & R(Π a)= σν &σμ &σμ &σπ = σν & σπ
    [οι δύο μεσαίες αναιρούνται ,μένουν οι δύο ακραίες, άρα πρόκειται για περιστροφή περί νέο κέντρο που είναι το σημείο τομής των γραμμών ν και π , αφού οι σνσπ είναι μια νέα περιστροφή]
    Εν κατακλείδι, κάθε direct isometry προκύπτει από την εφαρμογή 2 αντικατοπτρισμών (?) (reflections) ,και ως εκ τούτου είναι είτε μια μεταφορά ,είτε μια περιστροφή.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από George Rizopulos — Ιουνίου 17, 2015 @ 11:11 πμ

  29. 28: Πολύ ωραία, αλλά δύσκολο να παρακολουθήσει κανείς χωρίς το σχήμα. Και ένα σχέδιο στο χαρτί φωτογραφημένο και βαλμένο κάπου στο δίκτυο μια χαρά κάνει τη δουλειά του.

    Όσον αφορά το latex μια εύκολη λύση είναι να έχει κάποιος ένα δικό του blog στο wordpress.com (χωρίς κατ’ ανάγκη να είναι ορατό σε κανένα άλλο) και να δοκιμάζει εκεί αυτά που θέλει να γράψει σε latex, κι αφού βεβαιωθεί ότι δουλεύουν να τα κάνει ένα copy-paste στο blog αυτό.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Ιουνίου 17, 2015 @ 6:52 μμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Blog στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: