Προβλήματα Μαθηματικών

Ιουνίου 9, 2015

Άθροισμα μηδέν

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 12:19 πμ

Τέσσερα διανύσματα στο επίπεδο έχουν μήκος 1 και άθροισμα 0. Δείξτε ότι πρόκειται για δύο ζεύγη από αντίθετα διανύσματα.

Advertisements

19 Σχόλια »

  1. Αρκεί να δείξουμε ότι τα διανύσματα έχουν άθροισμα μηδέν αν και μόνο εάν αποτελούν διαγωνίους παραλληλογράμμου.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — Ιουνίου 9, 2015 @ 2:15 μμ

  2. Δύσκολο πάντα να αποδείξεις το «προφανές». Μάλλον κάτι χοντρό (φορμαλιστικά) μού ξεφεύγει, αλλά 4 διανύσματα στο επίπεδο με άθροισμα 0 φορμάρουν πάντα ένα κυρτό τετράπλευρο. Αφού οι πλευρές =1 πρόκειται για ρόμβο (ή τετράγωνο). ΟΕΔ (too good and easy to be true?)

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από George Rizopulos — Ιουνίου 9, 2015 @ 8:54 μμ

  3. Χρησιμοποιώντας γλώσσα γραμμικής άλγεβρας, μπορούμε να επισυνάψουμε ένα γεωμετρικό μετασχηματισμό ίσως.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — Ιουνίου 9, 2015 @ 11:20 μμ

  4. Κωνσταντίνε, τα σχόλια σου είναι σχόλια λύτη ή σχόλια θεματοθέτη (υποδείξεις); Το θέμα είναι δικό σου ή του Μιχάλη Κολουντζάκη;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από George Rizopulos — Ιουνίου 10, 2015 @ 8:14 πμ

  5. Το πρόβλημα το έθεσα εγώ.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Ιουνίου 10, 2015 @ 8:32 πμ

  6. @5. E, πες μας τότε κι αν το 2. σε καλύπτει ως απάντηση! 🙂

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από George Rizopulos — Ιουνίου 10, 2015 @ 9:03 πμ

  7. Sorry, είμαι σε ένα συνέδριο και παρακολουθώ περιστασιακά. Δεν είχα δει το 2. Γιατί είναι κυρτό και όχι κάτι όπως αυτό;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Ιουνίου 10, 2015 @ 9:11 πμ

  8. Δεν έχει σημασία αν είναι concave ή self -intersecting (συγγνώμη για τις αγγλικούρες, αλλά δεν μου έρχονται οι δόκιμοι ελληνικοί όροι. Το concave ενταξει «μη κυρτό» 🙂 ) 4 ή οσαδήποτε μη συνευθιακά όλα διανύσματα πρέπει να σχηματίζουν ένα κλειστό δυναμοπολύγωνο. Με απλούστατη translation (? έτσι λέγεται. Παράλληλη αφινική μετατόπιση δηλαδή) πάντα μπορούμε να φτιάξουμε με τις πλευρές ένα κυρτό σχήμα. Αν δεν ταυτίζεται η κορυφή αρχής με την κορυφή τέλους, δεν μπορεί το άθροισμα να είναι το μηδενικό διάνυσμα. Αν τα 4 διανύσματα είναι συνευθειακά, τότε το ζητούμενο είναι trivial.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από George Rizopulos — Ιουνίου 10, 2015 @ 9:19 πμ

  9. Εναλλακτικά μπορούμε επιλέγοντας με ποια σειρά παίρνουμε τα 4 διανύσματα (παίρνοντάς τα π.χ. με αύξουσα σειρά της γωνίας που σχηματίζουν με τον άξονα των x) να πετύχουμε την κυρτότητα. Γιατί είναι παραλληλόγραμμο;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Ιουνίου 10, 2015 @ 9:23 πμ

  10. 9. Με ρωτάς γιατί ένα τετράπλευρο με ίσες όλες τις πλευρές του είναι παραλληλόγραμμο;;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από George Rizopulos — Ιουνίου 10, 2015 @ 9:29 πμ

  11. Ναι.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Ιουνίου 10, 2015 @ 9:34 πμ

  12. E, αυτό είναι άλλο «πρόβλημα» όμως! Θα το δώσω στην κόρη μου (4η προς 5η Δημοτικού για εμβάθυνση…(μπερδεύει τους ρόμβους με τα «λοξά» τετράγωνα). Προσωπικά, επειδή δεν εμπιστεύομαι και πολύ τα ευκλείδεια πορίσματα, το έχω ελέγξει για 666 διαφορετικά τετράπλευρα με ίσες πλευρές και ήταν όλα παραλληλόγραμμα (ρόμβοι ή τετράγωνα. Όχι απ’τ’άλλα.) Αλήθεια λέω!

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από George Rizopulos — Ιουνίου 10, 2015 @ 9:47 πμ

  13. Συμφωνώ ότι δεν είναι δύσκολο, αλλά κάτι πρέπει να ειπωθεί κι εδώ. Αν πούμε τις κορυφές ABCD τότε τα τρίγωνα ABC και ADC έχουν όλες τις πλευρές τους ίσες, άρα είναι ίσα τρίγωνα, έχουν και τις γωνίες τους ίσες και άρα πρόκειται για παραλληλόγραμμο. Από αυτά μόνο το τελευταίο δεν ισχύει σε τρεις διαστάσεις (οπότε δεν ισχύει και το αποτέλεσμα).

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Ιουνίου 10, 2015 @ 10:44 πμ

  14. 13. Ναι. αν δεν είναι συνεπίπεδα τα διανύσματα, δεν ισχύει. Μιχάλη, ζητώ συγγνώμη για την ειρωνία στο σχόλιο 12. αλλά έτσι που το πήγαινες με τις ερωτήσεις…θα με έβαζες σε λίγο να αποδείξω το… Πυθαγόρειο (δηλαδή το 5ο Αίτημα κατ’ουσίαν!) και κει τα πράγματα σκουραίνουν όπως ξέρεις! 🙂

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από George Rizopulos — Ιουνίου 10, 2015 @ 10:54 πμ

  15. Στις τρεις διαστάσεις δεν ισχύει γιατί μπορεί να έχουμε ασύμβατα (skew) διανύσματα;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — Ιουνίου 10, 2015 @ 10:55 πμ

  16. Ναι, πάρε ένα παραλληλόγραμμο στο επίπεδο και «δίπλωσέ» το κατά π.χ. 10 μοίρες. Πάρε ως διανύσματα τις πλευρές του.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Ιουνίου 10, 2015 @ 10:56 πμ

  17. 14. Κανένα πρόβλημα. Απλά μερικές φορές αξίζει να πηγαίνει κανείς λίγο πιο βαθιά και να ρωτάει γιατί και γιατί. Το γεγονός ότι ένα τρίγωνο καθορίζεται πλήρως από τα μήκη των πλευρών του (πράγμα που δεν ισχύει για τετράπλευρο) είναι σημαντικό αν και εύκολο.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Ιουνίου 10, 2015 @ 11:02 πμ

  18. Έχεις δίκιο Μιχάλη! Στην πλάκα-πλάκα αυτό θα ήταν ένα ωραίο θέμα εξετάσεων σε μηχανικούς! 🙂
    [κι ακόμα καλύτερο ίσως, θα ήταν να ερωτηθεί «τι είναι διάνυσμα;» … εε, ένα βέλος με αρχή και τέλος με μύτη ,το μήκος του λέγεται «μέτρο»…:lol: ]

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από George Rizopulos — Ιουνίου 10, 2015 @ 11:07 πμ

  19. Κι ένα τελευταίο σχόλιο, με κάπως λιγότερη αυστηρότητα.

    Τα 4 διανύσματα καθορίζονται από 4 αριθμούς (αφού τα μήκη τους είναι γνωστά) και το ότι το άθροισμά τους είναι 0 αποτελεί μια διανυσματική εξίσωση, δηλ. 2 πραγματικές εξισώσεις. Άρα το πρόβλημα έχει 4-2=2 βαθμούς ελευθερίας. Διαλέγεις π.χ. τα δύο διανύσματα και τα άλλα δύο καθορίζονται αυτόματα ως τα αντίθετά τους.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Ιουνίου 10, 2015 @ 11:13 πμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Δημιουργήστε ένα δωρεάν ιστότοπο ή ιστολόγιο στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: