Προβλήματα Μαθηματικών

Νοέμβριος 6, 2014

Παραλληλόγραμμο

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 11:00 πμ

Το πρόβλημα προτείνει ο Χρήστος Πελεκης.

Υποθέστε ότι μια (απλή) καμπύλη, C, χωρίζει το εμβαδό παραλληλογράμμου σε δύο ίσα μέρη. Αποδείξτε ότι υπάρχουν δύο σημεία, A, B, στη C τέτοια ώστε το ευθύγραμμο τμήμα AB περνάει από το κέντρο O του παραλληλογράμμου.

Advertisements

17 Σχόλια »

  1. Έχω μια προσέγγιση απλοϊκή, η οποία ελπίζω να περνάει τα κριτήρια ικανοποιητικής αυστηρότητας. Το ζητούμενο είναι διαισθητικά προφανές και το μυαλό μου πήγε κατευθείαν σε γνωστά τοπολογικά πορίσματα/θεωρήματα, but I will spare me (and you! 🙂 ) the agony…

    Στη γενική περίπτωση που η καμπύλη C δεν περνάει από το κέντρο O του παραλληλογράμμου , μπορούμε να κάνουμε έναν μετασχηματισμό/κολπάκι. Προφανώς οποιοδήποτε σημείο σε ένα κυρτό χωρίο με διπλούς άξονες συμμετρίας έχει το συμμετρικό του ως προς το κέντρο O. Mπορούμε λοιπόν να πάρουμε τη δίδυμη καμπύλη της C, έστω C’, που είναι συμμετρική της C ως προς το σημείο Ο.
    Το λεπτό σημείο είναι πως οι δύο απλές καμπύλες C και C' θα έχουν τουλάχιστον ένα σημείο τομής. Αν οι καμπύλες δεν τεμνόντουσαν(εντός του παραλληλογράμμου), θα όριζαν 3 περιοχές με ένωση όλο το παρ/μο ,άτοπο (αφού τα 2 εμβαδά έχουν ένωση το όλον). Έστω A \in {C,C'} αυτό το σημείο τομής. Το κατοπτρικό του Α ως προς Ο ,έστω B κείται όμως υποχρεωτικά κι αυτό και στις 2 καμπύλες. Άρα το ΑΒ περνάει από το Ο.
    Aν η C περνάει από το O, δεν υπάρχουν και πολλά πράγματα να πούμε νομίζω.
    Q.E.D

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Rizopoulos Georgios — Νοέμβριος 6, 2014 @ 8:30 μμ

  2. Η λύση σου είναι σωστότατη, «αυστηρότατη» και όμορφη!

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από henk&christos — Νοέμβριος 8, 2014 @ 11:12 πμ

  3. Μία δεύτερη λύση:

    Αν Α το ένα άκρο της καμπύλης C (το οποίο βρίσκεται πάνω σε μία από τις πλευρές του παρ/μου) και Α’ το συμμετρικό του ως προς το κέντρο Ο (το οποίο επίσης βρίσκεται πάνω σε μία από τις πλευρές του παρ/μου), τότε η ΑΑ’ χωρίζει το παρ/μο σε δύο περιοχές που έχουν ίσα εμβαδά. Αν η καμπύλη δεν τέμνει την ΑΑ’, σε άλλο σημείο εκτός του Α, τότε θα βρίσκεται σε μία από τις δύο αυτές περιοχές. Επομένως η μία από τις περιοχές που αυτή περικλείει θα έχει εμβαδόν μικρότερο από το μισό του εμβαδού του παρ/μου, το οποίο είναι άτοπο. Άρα η C τέμνει την ΑΑ’ σε ένα δεύτερο σημείο Β και το ΑΒ προφανώς περιέχει το Ο.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Nikos Yannakakis — Νοέμβριος 9, 2014 @ 11:03 μμ

  4. Πώς εξασφαλίζεις ότι το Β κείται στο ευθύγραμμο τμήμα OA' ;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από henk&christos — Νοέμβριος 10, 2014 @ 11:14 πμ

  5. «Έφαγε» ένα μέρος του σχολίου..

    Θα θέλαμε το Β να κείται στο ευθύγραμμο τμήμα ΟΑ’.. και όχι στο ΟΑ.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από henk&christos — Νοέμβριος 10, 2014 @ 12:02 μμ

  6. Άλλη μια λύση: Από τις ευθειες που περνουν απο το κεντρο και χωριζουν στα 2 το παραλληλογραμμο παιρνουμε αυτη που ελαχιστοποιει το ολοκληρωμα τις |f(x)| αν ως f θεωρηθει η συναρτηση που οριζει η καμπυλη C με x’x την ευθεία. Η C τεμνει καθε τετοια ευθεια σε τουλαχιστον ενα σημειο. Αν η προαναφερθείσα ευθεία δεν τέμνει την καμπύλη σε πάνω απο ένα σημεία τότε την περιστρέφουμε λιγάκι στην κατάλληλη κατευθυνση και μικραίνουμε το ολοκληρωμα, που ειναι ατοπο.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από fivosk7 — Νοέμβριος 10, 2014 @ 5:59 μμ

  7. Η καμπύλη είναι απλή αλλά δεν είναι κατ’ανάγκην κυρτή..
    Οπότε αν «κόψεις» το παραλληλόγραμμο με κάποια ευθεία, (ε), και θεωρήσεις κάποιο από τα μέρη της
    καμπύλης ως συνάρτηση που την «τρέφει» η ευθεία (ε) ενδέχεται να πάρεις απεικόνιση που είναι «ένα-προς-πολλά»..

    Θα έθελες να μας εξηγήσεις ποιό είναι το σημείο Α και ποιό το Β στο άνω επιχείρημα ;
    Επίσης, σε ποιό σημείο χρησιμοποιείς την υπόθεση ότι η καμπύλη χωρίζει το εμβαδό σε δύο ίσα μέρη;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από henk&christos — Νοέμβριος 10, 2014 @ 8:16 μμ

  8. Πολύ δύσκολα νομίζω ότι θα βρισκόταν απόδειξη που θα συναγωνιζόταν αυτή του Γ. Ριζόπουλου σε αυστηρότητα και κομψότητα. Θα προτείνω λοιπόν μια που ελπίζω τουλάχιστον να την πλησιάσει σε εγκυρότητα και απλότητα :-):

    Έστω ότι η C δεν περνάει από το Ο (οπότε και έχουμε κάτι να πούμε).
    Χαράζουμε τα τμήματα που συνδέουν το Ο με κάθε σημείο της C και έστω φ η μέγιστη γωνία, με κορυφή στο Ο, που σχηματίζεται μεταξύ δύο τέτοιων τμημάτων. Εξ ορισμού, η φ περιέχει όλα τα σημεία της C. Αν η φ ήταν μικρότερη από 180º, θα ήταν δυνατό να χαραχτεί ευθεία που περνάει από το Ο χωρίς να εισέρχεται στο εσωτερικό της, άρα και χωρίς κοινό σημείο με τη C. Αλλά αφού η C διχοτομεί το παραλληλόγραμμο, έχει αναγκαστικά κοινό σημείο με κάθε ευθεία που διέρχεται από το Ο. Αντίφαση. Άρα η φ είναι τουλάχιστον 180º, γεγονός που αποδεικνύει το ζητούμενο.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από ΘΑΝΑΣΗΣ ΠΑΠΑΔΗΜΗΤΡΙΟΥ — Νοέμβριος 12, 2014 @ 11:27 πμ

  9. That’s straight from The Book !!

    http://www.britannica.com/EBchecked/topic/849043/The-Book

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από henk&christos — Νοέμβριος 12, 2014 @ 4:52 μμ

  10. Yποβάλλω ένσταση Χρήστο! Πώς μπορεί να είναι Book (ωραία έκφραση ο μπαρμπα-Έρντος! Tη χρησιμοποιούμε και στο σκάκι για μια υποδειγματική/θεωρητική συνέχεια κινήσεων. Ίσως κι αυτός-σαν Μαγιάρος δεν μπορεί να μην κατείχε από σκάκι- από εκεί να την εμπνεύστηκε) η απόδειξη του Παπαδημητρίου,απ’τη στιγμή που δεν λέει τίποτα για την τάξη των απείρων των σημείων της C και των γωνιών φ που αντιστοιχίζει; Θα παραπετάξουμε στη γωνία τους πληθικούς αριθμούς, την αριθμησιμότητα, και τον Κάντορ; Ε;
    Φυσικά αστειεύομαι, αλλά ας το δηλώσω και ρητά για παν ενδεχόμενο. 🙂

    ΥΓ. Nα ποστάρεις συχνότερα αγαπητέ Χρήστο ωραία προβληματάκια!

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Rizopoulos Georgios — Νοέμβριος 12, 2014 @ 5:11 μμ

  11. henk&christos Η υποθεση χρησιμοποιειται στο σημειο «Η C τεμνει καθε τετοια ευθεια σε τουλαχιστον ενα σημειο». Πραγματι η καμπυλη θα μπορουσε να μην ειναι κυρτη, οπότε αντι για ολοκληρωμα ας θεωρησουμε το αθροισμα των εμβαδων των χωριων που σχηματιζονται. Νομιζω πως εξακολουθει να ισχυει το επιχειρημα.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από fivosk7 — Νοέμβριος 12, 2014 @ 8:57 μμ

  12. Ενδεχομένως να εξακολουθεί να ισχύει και να μη το βλέπω..

    Οπότε ποιό είναι το σημείο Α και ποιό το Β ;
    Αν θες ξαναγράψε το επιχείρημα από την αρχή.

    Μήπως εννοείς πως «κόβεις» το παραλληλόγραμμο με ευθεία (ε) που περνάει από το Ο
    έτσι ώστε το μήκος της καμπύλης που μένει από τη μια πλευρά να είναι ελάχιστο.. (και άρα από την άλλη μέγιστο) ;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από henk&christos — Νοέμβριος 12, 2014 @ 9:53 μμ

  13. Πράγματι δεν υπάρχει λόγος το Β να βρίσκεται στο ευθύγραμμο τμήμα ΟΑ’ και συγγνώμη για την παράβλεψη!

    Αν λοιπόν δεν συμβαίνει αυτό, δηλαδή η C δεν τέμνει την ΟΑ’, τότε θα υπάρχει σημείο Γ πάνω στις πλευρές του παρ/μου και στην ίδια μεριά, ως προς την ΑΑ’, στην οποία βρίσκεται η C πριν διασχίσει για πρώτη φορά την ΟΑ, τέτοιο ώστε:
    (1) η ΟΓ τέμνει την C τουλάχιστον σε ένα σημείο και
    (2) δεν υπάρχει σημείο της C εντός του τριγώνου ΟΑ’Γ.
    Αν Γ’ το συμμετρικό του Γ ως προς Ο , τότε η C αναγκαστικά θα τέμνει την ΟΓ’ (αφού η ΓΓ’ χωρίζει το παρ/μο σε 2 μέρη ίσου εμβαδού και ισχύει η (2)), από όπου και προκύπτει το ζητούμενο.

    Μία παρατήρηση-ερώτηση: όπως υπαινίχθηκε ο Γ. Ριζόπουλος, τα επιχειρήματα για την απόδειξη του ζητούμενου θα μπορούσαν να χρησιμοποιηθούν και για άλλα επίπεδα σχήματα, π.χ. κυρτά με διπλούς άξονες συμμετρίας. Ποιες θα μπορούσαν να είναι οι γενικότερες υποθέσεις για το σχήμα ώστε να συνεχίσει να ισχύει το συμπέρασμα; Χρειάζεται κάτι περισσότερο από την ύπαρξη κέντρου συμμετρίας;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Nikos Yannakakis — Νοέμβριος 13, 2014 @ 12:12 μμ

  14. Κύριε Γιαννακάκη, αν αντιλαμβάνομαι σωστά τον γενικότερο προβληματισμό που βάζετε, οι σκέψεις μου είναι οι εξής:
    Noμίζω πως η ύπαρξη κέντρου συμμετρίας είναι οπωσδήποτε αναγκαία συνθήκη, αλλά όχι ικανή.
    Ας πούμε το πρόβλημα δεν θα μπορούσε να γενικευτεί με αντικατάσταση του «κέντρου Ο» της εκφώνησης από το «κεντροειδές». Προφανές γνωστό αντιπαράδειγμα το τρίγωνο ,όπου οι τρεις διάμεσοι που διχοτομούν εμβαδό και ορίζουν με το σημείο τομής τους και το κεντροειδές του τριγώνου, είναι οι μοναδικές ευθείες (μεταξύ πολλών) που διέρχονται απ’το κεντροειδές και διχοτομούν το εμβαδό. Οπότε δεν θα μπορούσε-έτι περισσότερο- να υπάρξει μια γενική απλή καμπύλη που να έχει την ανάλογη ιδιότητα.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Rizopoulos Georgios — Νοέμβριος 13, 2014 @ 2:13 μμ

  15. Πολύ όμορφη προσέγγιση!

    Για λόγους πληρότητας πες μας, αν θες, τί γίνεται στην περίπτωση που η καμπύλη δε τέμνει το σύνορο του παραλληλογράμμου..

    Η πιο γενική περίπτωση «σχήματος» που μπορώ να σκεφτώ είναι εκείνη ενός συμμετρικού κυρτού σώματος.

    http://en.wikipedia.org/wiki/Convex_body

    Το ότι η συμμετρία είναι αναγκαία φαίνεται από την απόδειξη του Γιώργου στο σχόλιο 1.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από henk&christos — Νοέμβριος 13, 2014 @ 2:52 μμ

  16. Γιώργη Ριζόπουλε, δεν ξέρω τι θα έπρεπε να λέει μια απόδειξη για να είναι ‘book’, αναγνωρίζω πάντως ότι η δική σου λέει περισσότερα από αρκετά, αφού δε δείχνει την απλή ύπαρξη των δύο σημείων στη C (το ζητούμενο), αλλά την ύπαρξη δύο τέτοιων σημείων, που είναι συμμετρικά ως προς Ο (κάτι ισχυρότερο από το ζητούμενο). Ό,τι και να λέει το λοιπόν το βιβλίο, νομίζω πως μετά από αυτό θα χρειαζόταν ίσως να ξαναγραφεί! 🙂
    Αγαπητέ Χρήστο, για να περάσω και το τεστ Ριζόπουλου – Κάντορ, έστω και υστερόγραφα, σου δίνω υπεραριθμησίμως πολλά συγχαρητήρια για το όμορφο πρόβλημα και άλλα τόσα ευχαριστώ για τα ωραία σχόλια.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από ΘΑΝΑΣΗΣ ΠΑΠΑΔΗΜΗΤΡΙΟΥ — Νοέμβριος 14, 2014 @ 10:34 πμ

  17. Ψάχνοντας την περίπτωση που η καμπύλη δε τέμνει το σύνορο του παραλληλογράμμου, βρήκα μία απόδειξη στην οποία δε χρειάζεται να διαχωρίσω τις περιπτώσεις και την οποία παραθέτω (μοιάζει με το δεύτερο μέρος της προηγούμενης).

    Χωρίς βλάβη της γενικότητας μπορούμε να υποθέσουμε ότι υπάρχει σημείο Γ στο σύνορο του παρ/μου, τέτοιο ώστε το ευθύγραμμο τμήμα ΟΓ δεν τέμνει τη καμπύλη C. Τότε μπορούμε να βρούμε σημείο Δ, επίσης στο σύνορο του παρ/μου, τέτοιο ώστε
    (1) η ΟΔ τέμνει την C και
    (2) δεν υπάρχει σημείο της C εντός του τριγώνου ΟΓΔ.
    Αν Δ’ το συμμετρικό του Δ ως προς Ο, τότε η C αναγκαστικά θα τέμνει την ΟΔ’ (αφού η ΔΔ’ χωρίζει το παρ/μο σε 2 μέρη ίσου εμβαδού και ισχύει η (2)), από όπου και προκύπτει το ζητούμενο.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Nikos Yannakakis — Νοέμβριος 15, 2014 @ 5:56 μμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Blog στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: