Είναι πολύ εύκολο να φτιάξει κανείς μια συνάρτηση που να έχει τοπικό ελάχιστο σε κάθε πραγματικό αριθμό και να μην είναι σταθερή (π.χ. η χαρακτηριστική συνάρτηση του διαστήματος ).
Υπάρχει ή όχι συνεχής μη σταθερή συνάρτηση που να έχει τοπικό ελάχιστο σε κάθε πραγματικό αριθμό;
Σκιαγράφηση: Κατασκευάζουμε μια ακολουθια χ(1), χ(2), … με f(χ(ν))<f(χ(ν+1)) η οποία είναι φραγμένη και αρα συγκλινει στο χ. Το f(χ) ως όριο των f(χν) εξ αιτιας της συνεχειας της f έχει οσοδήποτε κοντά του μικρότερες τιμες της f και αρα δεν ειναι τοπικο ελαχιστο.
Μου αρέσει!Μου αρέσει!
Σχόλιο από Foivos Katsetsiadis — 2 Ιουνίου, 2014 @ 2:48 πμ
Πώς είμαστε σίγουροι ότι μπορούμε να φτιάξουμε μια τέτοια ακολουθία. Π.χ. είναι αναγκαίο η συνάρτησή μας να παίρνει άπειρες διαφορετικές τιμές για να μπορεί να γίνει αυτό.
Μου αρέσει!Μου αρέσει!
Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — 2 Ιουνίου, 2014 @ 9:13 πμ
Δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση. Αν η είναι συνεχής και έχει τοπικό ελάχιστο παντού, τότε υποχρεωτικά είναι σταθερή.
Γιατί τότε (αν έχει local minimum παντού) το πεδίο τιμών της (Bild) είναι αριθμήσιμο.(αυτό χρήζει απόδειξη βέβαια) .Επομένως αν η f είναι και συνεχής πρέπει να είναι και σταθερή, γιατί αλλιώς (από το Zwischenwertsatz http://de.wikipedia.org/wiki/Zwischenwertsatz) το πεδίο τιμών της θα ήταν υπεραριθμήσιμο .Άτοπο.
Εναλλακτικός τρόπος: Έστω α πραγματικός αριθμός. Λόγω συνέχειας το είναι κλειστό,και εξ υποθέσεως περί τοπικού ελαχίστου το είναι ανοικτό. Το σύνολο δεν είναι κενό,μιας και περιέχει το a , κατ’επέκταση το ίδιο και για όλο το R (λόγω Vernetzung). Επομένως διά κάθε a ,b στο R και . Αρα f σταθερή.
Μου αρέσει!Μου αρέσει!
Σχόλιο από Rizopoulos Georgios — 4 Ιουνίου, 2014 @ 4:54 πμ
Σωστά, ο «εναλλακτικός τρόπος» είναι ΟΚ. Να επεξηγήσω μόνο λίγο το γιατί το σύνολο είναι και αυτό ανοιχτό. Ας είναι λοιπόν , δηλ. ας είναι . Αφού το είναι τοπικό ελάχιστο της έπεται ότι υπάρχει ένα ανοιχτό διάστημα , με τέτοιο ώστε για κάθε να ισχύει . Αυτό όμως συνεπάγεται ότι κάθε ανήκει στο . Υποθέσαμε δηλ. ότι και συμπεράναμε ότι ένα ολόκληρο διάστημα γύρω από το περιέχεται στο . Αυτό σημαίνει, εξ ορισμού, ότι είναι ανοιχτό.
Μου αρέσει!Μου αρέσει!
Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — 4 Ιουνίου, 2014 @ 6:40 μμ