Προβλήματα Μαθηματικών

Απρίλιος 23, 2014

Συνέχεια και τοπικά ακρότατα

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 12:51 πμ

Είναι πολύ εύκολο να φτιάξει κανείς μια συνάρτηση f:{\mathbb R}\to{\mathbb R} που να έχει τοπικό ελάχιστο σε κάθε πραγματικό αριθμό και να μην είναι σταθερή (π.χ. η χαρακτηριστική συνάρτηση του διαστήματος (-\infty, 0)).

Υπάρχει ή όχι συνεχής  μη σταθερή συνάρτηση f:{\mathbb R}\to{\mathbb R} που να έχει τοπικό ελάχιστο σε κάθε πραγματικό αριθμό;

Advertisements

4 Σχόλια »

  1. Σκιαγράφηση: Κατασκευάζουμε μια ακολουθια χ(1), χ(2), … με f(χ(ν))<f(χ(ν+1)) η οποία είναι φραγμένη και αρα συγκλινει στο χ. Το f(χ) ως όριο των f(χν) εξ αιτιας της συνεχειας της f έχει οσοδήποτε κοντά του μικρότερες τιμες της f και αρα δεν ειναι τοπικο ελαχιστο.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Foivos Katsetsiadis — Ιουνίου 2, 2014 @ 2:48 πμ

  2. Πώς είμαστε σίγουροι ότι μπορούμε να φτιάξουμε μια τέτοια ακολουθία. Π.χ. είναι αναγκαίο η συνάρτησή μας να παίρνει άπειρες διαφορετικές τιμές για να μπορεί να γίνει αυτό.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Ιουνίου 2, 2014 @ 9:13 πμ

  3. Δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση. Αν η f είναι συνεχής και έχει τοπικό ελάχιστο παντού, τότε υποχρεωτικά είναι σταθερή.
    Γιατί τότε (αν έχει local minimum παντού) το πεδίο τιμών της (Bild) είναι αριθμήσιμο.(αυτό χρήζει απόδειξη βέβαια) .Επομένως αν η f είναι και συνεχής πρέπει να είναι και σταθερή, γιατί αλλιώς (από το Zwischenwertsatz http://de.wikipedia.org/wiki/Zwischenwertsatz) το πεδίο τιμών της θα ήταν υπεραριθμήσιμο .Άτοπο.
    Εναλλακτικός τρόπος: Έστω α πραγματικός αριθμός. Λόγω συνέχειας το \{x: f(x)\ge f(a) \} είναι κλειστό,και εξ υποθέσεως περί τοπικού ελαχίστου το \{x:f(x)\geq f(a)\} είναι ανοικτό. Το σύνολο δεν είναι κενό,μιας και περιέχει το a , κατ’επέκταση το ίδιο και για όλο το R (λόγω Vernetzung). Επομένως διά κάθε a ,b στο R f(b) \ge f(a) και f(a) \ge f(b). Αρα f σταθερή.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Rizopoulos Georgios — Ιουνίου 4, 2014 @ 4:54 πμ

  4. Σωστά, ο «εναλλακτικός τρόπος» είναι ΟΚ. Να επεξηγήσω μόνο λίγο το γιατί το σύνολο G=\{x: f(x) \ge f(a)\} είναι και αυτό ανοιχτό. Ας είναι λοιπόν y \in G, δηλ. ας είναι f(y) \ge f(a). Αφού το y είναι τοπικό ελάχιστο της f έπεται ότι υπάρχει ένα ανοιχτό διάστημα (a,b), με y \in (a, b) τέτοιο ώστε για κάθε z \in (a, b) να ισχύει f(z) \ge f(y). Αυτό όμως συνεπάγεται ότι κάθε z \in (a, b) ανήκει στο G. Υποθέσαμε δηλ. ότι y \in G και συμπεράναμε ότι ένα ολόκληρο διάστημα γύρω από το y περιέχεται στο G. Αυτό σημαίνει, εξ ορισμού, ότι G είναι ανοιχτό.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Ιουνίου 4, 2014 @ 6:40 μμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Δημιουργήστε ένα δωρεάν ιστότοπο ή ιστολόγιο στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: