Προβλήματα Μαθηματικών

Απρίλιος 20, 2014

Αναγκαστικά ισομετρία

Filed under: Άλυτα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 3:12 πμ

Μια συνεχής συνάρτηση f:X\to X από ένα συμπαγή μετρικό χώρο στον εαυτό του έχει την ιδιότητα ότι δε μικραίνει τις αποστάσεις:

Για κάθε x, y \in X έχουμε d(f(x), f(y)) \ge d(x, y) (εδώ d(\cdot,\cdot) είναι η μετρική του χώρου X).

Δείξτε ότι η f είναι ισομετρία: d(f(x), f(y)) = d(x, y) για κάθε x, y \in X.

(Αν έχετε πρόβλημα με την έννοια «συμπαγής μετρικός χώρος» μπορείτε να σκέφτεστε το X σαν ένα κλειστό και φραγμένο υποσύνολο του Ευκλείδιου χώρου με τη συνηθισμένη Ευκλείδια μετρική.)

Advertisements

9 Σχόλια »

  1. Έσβησα ένα σχόλιο που υπήρχε εδώ που παρέπεμπε σε μια λύση που υπάρχει στο internet. Ο σκοπός είναι ο αναγνώστης να προσπαθεί μόνος του.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Απρίλιος 23, 2014 @ 1:28 μμ

  2. Θα ήθελα να ρωτήσω αν θα ήταν βοηθητικό να λύναμε πρώτα την εξής άσκηση: Έστω f συνάρτηση δύο μεταβλητών και f(x,y)<=f(y,x) για κάθε ζεύγος (x,y) στο επίπεδο. Να δειχθεί ότι f(x,y)=f(y,x).
    Αυτό που ζητάει η άσκηση ίσως είναι γενίκευση αυτής.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — Οκτώβριος 14, 2014 @ 11:27 μμ

  3. Έστω x\in X. Θέτω x^n = f^n(x), με $x^0 = x, x^1 = f(x), x^2 = f(f(x))$ κλπ.
    Η ακολουθία $x^n$ έχει υπακολουθία Cauchy x^{n_k}. Έστω \epsilon > 0. Τότε υπάρχει k_0 τέτοιο ώστε
    |x^{n_k}x^{n_{k'}}| < \epsilon \implies |x^0x^{n_{k'} - n_k}| < \epsilon για k' \geq k \geq k_0. Βρίσκοντας συγκλίνουσα υπακολουθία της x^{n_{k'} - n_k} καταλήγουμε στο ότι υπάρχει όριο \hat x της x^n τέτοιο ώστε |x\hat x| < \epsilon. Τελικά, υπάρχει υπακολουθία της x^n τέτοια ώστε x^{n_k} \to x. Με το ίδιο επιχείρημα μπορώ να βρώ υπακολουθία οποιασδήποτε υπακολουθίας της x^n που να συγκλίνει στο x.

    Η συνάρτηση είναι 1-1, x\not = y \implies 0 < |xy| \leq |f(x)f(y)|. Δεν ξέρω πως να δείξω το επί.

    Τώρα θέλω να αποδείξω ότι |x^1y^1| \leq |x^0y^0|, και θέλω να το πετύχω παίρνωντας κάποιο όριο (αφού x^{n_k} \to x, y^{m_k} \to y). Αλλά δεν μπορώ να το καταφέρω…

    Αρέσει σε 1 άτομο

    Σχόλιο από sq81 — Ιουνίου 29, 2015 @ 7:23 μμ

  4. 3: Δείξτε: Κάθε συνάρτηση όπως στην εκφώνηση είναι επί.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Ιουνίου 30, 2015 @ 9:11 πμ

  5. Συμπερασματα που προκυπτουν:

    1) Η f 1-1 (σχολιο 3)
    2) Η αντιστροφη της f (απο το f(X) -> X) υπαρχει και ειναι συνεχης αφου ικανοποιει την αντιστροφη ανισοτητα
    3) Αρα αν Α ανοικτο το f(A) ανοικτο. Συγκεκριμενα η εικονα της f ειναι ανοικτο του Χ
    4) Για τυχον x, η x_n οπως οριζεται στο σχολιο 3 εχει υπακολουθια που συγκλινει στο x (*)
    5) Αρα η εικονα πυκνου συνολου μεσω της f ειναι πυκνο συνολο, αφου η f παιρνει τιμες οσοδηποτε κοντα σε οποιοδηποτε x του συνολου και αρα και σε οποιοδηποτε x του χωρου.
    6) Συγκεκριμενα η εικονα της f ειναι ανοικτο και πυκνο υποσυνολο του Χ

    (*) Το συμπερασμα του σχολιου 3 ειναι, συγκεκριμενα, οτι η x_n εχει υπακολουθια που συγκλινει στο x, οχι οτι καθε υπακολουθια της εχει τετοια υπακολουθια.
    (Εξ αλλου αυτο θα συνεπαγοταν επισης οτι η x_n συγκλινει στο x και ευκολα κατασκευαζεται ισομετρια στον κυκλο με περιστροφη
    του οπου η x_n δεν συγκλινει αν το x δεν ειναι το κεντρο του κυκλου)

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από fivosk7 — Οκτώβριος 5, 2015 @ 12:52 πμ

  6. Αφου η αντιστροφη ειναι συνεχης τοτε η f στελνει κλειστα συνολα σε κλειστα. Αρα το f(X) κλειστο και πυκνο στον Χ δηλ. f(X) = X. Αρα:

    7) H f επι.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από fivosk7 — Οκτώβριος 5, 2015 @ 1:05 πμ

  7. 5,6: Μπορείς να εξηγήσεις καλύτερα το 5; Αν Y πυκνό στο X βλέπω γιατί το \bigcup_n f^n(Y) είναι πυκνό, αλλά γιατί το f(Y);

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Οκτώβριος 5, 2015 @ 9:23 πμ

  8. Οντως, λαθος μου. Δεν μπορουμε να συναγουμε οτι η f στελνει πυκνα σε πυκνα, ομως το f(X) ειναι πυκνο, αφου η ενωση ειναι υποσυνολο του f(X).

    Ολα τα συμπερασματα εκτος του 5, πρεπει να ισχυουν.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από fivosk7 — Οκτώβριος 5, 2015 @ 5:05 μμ

  9. Λοιπον, σορρυ, οι f δεν στελνει κλειστα σε κλειστα ουτε ανοικτα σε ανοικτα του Χ αλλα σε κλειστα και ανοικτα του f(X) .

    Επισης τοση ωρα δεν ειχα δει οτι η f ειναι συνεχης… H f ειναι επι λογω οτι τα συμπαγη στελνονται σε συμπαγη αρα το f(X) συμπαγες (αρα κλειστο) και το f(X) πυκνο απο το σχολειο 3.

    Αρέσει σε 1 άτομο

    Σχόλιο από fivosk7 — Οκτώβριος 5, 2015 @ 11:37 μμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Δημιουργήστε ένα δωρεάν ιστότοπο ή ιστολόγιο στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: