Προβλήματα Μαθηματικών

Μαρτίου 12, 2014

Όριο με τον ορισμό

Filed under: Άλυτα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 12:11 πμ

Το πρόβλημα προτείνει ο Κωνσταντίνος Κουρουζίδης.

Βρείτε το ελάχιστο n_0 στον \varepsilon-n_0 ορισμό τού ορίου

\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\frac{\ln n}{n}=0.

Advertisements

6 Σχόλια »

  1. Καλημέρα! Mια διευκρίνιση θα ήθελα ,επιχειρώντας και μια προσέγγιση, και συγχωρήστε μου αν ρωτάω αυτονόητα πράγματα ή και βλακείες.
    Ζητείται να βρούμε το όριο (το 0) της ακολουθίας ,μέσω του ορισμού \varepsilon-N προσδιορίζοντας δηλαδή κάποιο ελάχιστο δείκτη N (στους φυσικούς) έτσι ώστε |  a_{n} -L | N ; και να αποδείξουμε πως το L=0 , ή ζητείται δεδομένου του ορίου L=0 , ουσιαστικά η ανισοτική (ή άλλη) σχέση μεταξύ των N και ε ; Νομίζω πως δεν είναι ακριβώς το ίδιο .
    Αν ζητείται το πρώτο, θα αρκούσε κάποιο «χαλαρό» φράγμα; Mπορούμε ας πούμε ,να εφαρμόσουμε το Squeeze theorem (παρεμβολή(;) ) και να φράξουμε ln(n)/n μεταξύ του 0 και του \frac{1}{ \sqrt{n} } και να βρούμε (σχετικά εύκολα) n> \frac{1}{  \epsilon ^{2} }
    Oπότε λέμε πως λαμβάνουμε Ν να ισούται με την ceiling function του 1/ε^2 . Αρκεί κάτι τέτοιο;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Rizopoulos Georgios — Μαρτίου 13, 2014 @ 9:41 πμ

  2. Χαίρετε. Μάλιστα είναι σωστό το Ν που εισηγείσθε. Μπορεί όμως να μη χρειάζεται να πάμε τόσο μακριά στους όρους της ακολουθίας για να είναι η απόσταση της ακολουθίας (από ένα δείκτη και πέρα) από το μηδέν, μικρότερη του ε.
    Μπορούμε να πετύχουμε κάτι καλύτερο;
    Κωνσταντίνος

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από kourouzides — Μαρτίου 13, 2014 @ 7:48 μμ

  3. Θα ήθελα να επισημάνω κάτι που ίσως βοηθήσει στην κατανόηση της άσκησης. Όπως είπε ο κύριος Ριζόπουλος φράσσουμε την συνάρτηση ln με μια πολυωνυμική βαθμού μικρότερη του 1. Με μια πρώτη προσέγγιση τη φράξαμε με την τετραγωνική ρίζα (δηλαδή \ln(x) \leqslant \sqrt{x} για κάθε x\geqslant 1). Όσο πιο χαλαρό είναι το φράγμα, τόσο καλύτερη θα είναι και η προσέγγιση.
    Ερώτηση: Ποιά είναι η ελάχιστη πολυωνυμική (βαθμού μικρότερου του 1) που φράσσει την λογαριθμική συνάρτηση; Τί μορφή έχει;
    Κωνσταντίνος

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — Μαρτίου 31, 2014 @ 3:15 μμ

  4. O pappous Eukleidhs mas leei oti oi prwtoi einai apeiroi. Epomenws uparxei elaxistos fusikos n_0 wste oi prwtoi ari8moi prin ton n_0 na einai perissoteroi apo 1/(\epsilon log 2). Tyxainei o n_0 na lynei to problima. Gia thn kanonikh apanthsh omws o anagnwsths kaleitai na koitaxei th sunarthsh W tou Lambert.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Efthimios Sofos — Απρίλιος 11, 2014 @ 11:02 μμ

  5. Ισχυρίζεστε ότι, the number of primes which occur before n_0 > \frac{1}{\varepsilon \ln 2} για κάθε \varepsilon>0. Αυτό πώς το αποδεικνύεται;
    Επίσης αν αυτή η πληροφορία είναι χρήσιμη, δε θα ήταν καλό να είχαμε και ένα άνω φράγμα για το πλήθος αυτό των πρώτων;
    Κωνσταντίνος

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — Απρίλιος 12, 2014 @ 4:48 μμ

  6. Ισχύει η ανισότητα: \frac{\ln y}{y} \leqslant \frac{a}{y^{1-{\frac{1}{a}}}}, για κάθε y\geqslant 1 και για κάθε a>0.
    Θα μπορούσαμε λοιπόν να λύσουμε το πρόβλημα τώρα;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Κωνσταντίνος Κουρουζίδης — Μαΐου 5, 2015 @ 7:21 μμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Δημιουργήστε ένα δωρεάν ιστότοπο ή ιστολόγιο στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: