Προβλήματα Μαθηματικών

Νοέμβριος 18, 2013

Προς τα πού πήγε το ποδήλατο;

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 12:04 πμ

bike

Αυτές οι δύο καμπύλες είναι τα ίχνη των τροχών ενός ποδηλάτου στο χώμα.

Προς τα ποια κατεύθυνση κινήθηκε το ποδήλατο; Αριστερά προς δεξιά ή δεξιά προς αριστερά;

Advertisements

7 Σχόλια »

  1. Εξαιρετικό πρόβλημα Μιχάλη! Θα βοηθούσε βέβαια να έχει κάθε γραμμή το δικό της ξεχωριστό χρώμα, αλλά δεν θα τα χαλάσουμε εκεί.
    Καταρχάς ,πρέπει να προσδιορίσουμε ποια γραμμή-τροχιά ανήκει στην μπροστινή ρόδα και ποια στην πίσω. Σένα ποδήλατο στρίβει μόνο ο μπροστινός τροχός. Ο πίσω ουσιαστικά ακολουθεί («κυνηγάει») τον μπροστινό. Με πολλή καλή προσέγγιση ,μπορούμε να προσομοιώσουμε μαθηματικώς την κίνηση προς τα μπρος του ποδηλάτου με την κίνηση ενός ευθ. τμήματος ,μήκους έστω μ , όπου μ το μεταξόνιο του ποδηλάτου, δηλαδή η απόσταση μεταξύ του μπροστινού και πίσω άξονα των τροχών. Το εμπρός άκρο του μ λοιπόν «χαράσσει» πορεία και το πίσω άκρο ακολουθεί στοχεύοντας (αλλά μη φθάνοντας ποτέ!) το μπροστινό. Ουσιαστικά, έχουμε έτοιμο μαθηματικό μοντέλο γι’αυτή τη συμπεριφορά . H κίνηση της πίσω ρόδας είναι η καμπύλη που λέγεται «έλκουσα» (tractrix ) και η κίνηση της μπροστινής είναι μια ασύμπτωτος.
    Είναι σαν ένα παιδάκι που σέρνει μια σχολική τσάντα . Η τσάντα «προσπαθεί» ν’ακολουθήσει την πορεία του παιδιού γράφοντας μια καμπύλη που τεινει ασυμπτωτικά ολοένα και εγγύτερα στην ευθυγραμμία. Είναι το μοντέλο της μη ευκλείδειας παραλληλίας στην υπερβολική Γεωμετρία των Λομπατσέφσκυ-Μπόλυαϊ. Η περιβάλλουσα των ελκουσών αν περιστραφεί περί την ασύμπτωτο δημιουργεί τη χαρακτηριστική επιφάνεια της ψευδοσφαίρας. Καλύτερη ακόμη (εποπτικά) ίσως προσομοίωση της κίνησης του ποδηλάτου θα έδινε ένα μπρελοκάκι κλειδιών με αλυσίδα . Αν περάσουμε το δάκτυλό μας μέσα στον κρίκο και διαγράψουμε στο χαρτί μια οποιαδήποτε καμπύλη, ο κρίκος σέρνει(έλκει) και το πισω βαρύ άκρο γράφει μια έλκουσα. Αλλά αρκετά πλατείασα και συγγνώμη.
    Τι χαρακτηρίζει λοιπόν τις τροχιές; Η πίσω τροχιά-καμπύλη ακολουθεί την κίνηση και σε κάθε χρονική στιγμή η διεύθυνση (διάνυσμα ταχύτητας ,αν θέλετε) της κίνησης είναι εφαπτόμενη στην καμπύλη. Είναι προφανές ότι καθέ εφαπτομένη σε οποιοδήποτε σημείο της έλκουσας (καμπύλη πίσω τροχού) τέμνει την καμπύλη του μπροστινού σε απόσταση ίση με μ στη διεύθυνση της κίνησης.
    Οπότε στο σχήμα μας (τι κριμα να μην μποορώ να φέρω εφαπτομένες στην παλιοοθόνη..) μπορούμε με βεβαιότητα να πούμε ότι η «βαθύτερη» καμπύλη ,αυτή δηλαδή με την μικρότερη τεταγμένη σε ένα φάνταστικό x-y καρτεσιανό σύστημα, είναι η τροχιά του μπροστινοιύ τροχού. Αν φέρουμε την εφαπτομένη στο κατώτατο (τοπικό minimum) σημείο ,αυτή τέμνει …το άπειρο, άρα δεν μπορεί να είναι η έλκουσα (καμπύλη πίσω τροχού). Αυτή είναι η αποπάνω(εσωτερική)
    Τώρα, όταν λέμε «εφαπρομένη» καμπύλης εννοείται πως μιλάμε για εφαπτομένη με την έννοια της διαφορικής γεωμετρίας ,αλλά δεν νομίζω πως χρειάζεται να επεκταθώ σε τύπους. Δεν έχουμε ακριβές σχήμα (με την έννοια του επεξεργάσιμου).
    H ουσία είναι πως ας πούμε σε μια κίνηση ποδηλάτου ευθύγραμμη κατά γενικό άξονα κατεύθυνσης ,αλλά ζιγκ-ζάγκ ,ο μπροστινός τροχός γράφει μια περιοδική ημιτονοειδή καμπύλη και ο πίσω ακολουθεί με μια επίσης ημιτονοειδή αλλά πιο «ήπια» ,μικρότερου πλάτους (amplitude). Έτσι ας πούμε, θα μπορούσαμε σε μια σχετικά ευθύγραμμη κίνηση, όπου ο προσδιορισμός κάποιου ελάχιστου ή μέγιστου θα ήταν δύσκολος, να καταλάβουμε ποια καμπύλη είναι ποιά.
    Έχοντας φιξάρει την πίσω και την μπροστά τροχιά λοιπόν, μένει να βρούμε το ζητούμενο.
    Εφαπτόμενες στην πίσω τροχιά δεν μπορώ να φέρω, αλλά μπορούμε να κάνουμε το εξής: Aν η κίνηση ήταν «προς τ’αριστερά» ,αυτό σημαίνει ότι ο μπροστά τροχός θα είναι «στην αριστερή μεριά» του πίσω. Άρα ,ξεκινώντας από ένα σημείο πάνω στην πίσω καμπύλη και φέρνοντας διαδοχικές εφαπτομένες προς τ’αριστρά, αυτες πρέπει να τεμνουν την μπροστινή καμπύλη σε αοστάσεις=»μήκη ποδηλάτου(μεταξονίου)» μ. Δηλαδή σε ίσα μήκη. Ενώ οι τμήσεις στην αντιθετη κατεύθυνση μπορέι να είναι (και θα είναι, αλλοιώς θα υπάρχει ασάφεια στην φορά κίνησης, όπως ας πούμε σε μια περίπτωση απολύτως κυκλικής πορείας όπου θα γράφονταν δύο ομόκεντροι κύκλοι) τυχαία ,άνισα γενικά μήκη.
    Υπάρχει ένα σχετικό «αμφιδοξούμενο» (ambiguity) στο σχήμα ,αλλά νομίζω πώς ο «μηνίσκος» που σχηματίζεται κάτω και προς τη δεξιά διασταύρωση των τροχιών , δείχνει καθαρά πως η κίνηση δεν μπορέι να είναι προς τα δεξιά. Η εφαπτομένη τείνει μειούμενη προς τα δεξιά , ενώ προς τα αριστερά είναι σχετικά σταθερή.
    Άρα, το ποδήλατο πάει από δεξιά προς αριστερά.
    Έτσι, μου φαίνεται τουλάχιστον. 🙂
    Πολυ ωραίο θέμα ,όπως και νάχει και συγχαρητήρια και πάλι!

    ΥΓ. Δεν ξέρω αν ανήκει η διαφορική και υπερβολική γεωμετρία στο διδακτικό σου αντικείμενο, αλλά ένα τέτοιο θέμα θα ήταν δυνατό εργαλείο για το δάσκαλο. Τώρα θα μου πεις…εδώ πνιγόμαστε (στα της Παιδείας γενικά δηλαδή μ’όλα αυτά που απεργάζονται οι «υπεύθυνοι»..) ,για «κομψότητες» θα μιλάμε; Ναι.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Rizopoulos Georgios — Νοέμβριος 18, 2013 @ 8:03 μμ

  2. Μια πιο αυστηρή μαθηματικώς προσέγγιση στην περιγραφή των καμπυλών και της κίνησης του ποδηλάτου.
    Θεωρώντας καρτεσιανό σύστημα αξόνων x-y στην κάτοψή μας,να αφήνει το «όλον» του σχήματος στο θετικό τεταρτημόριο, έστω Π(x) και Π(y) οι συντεταγμένες θέσης του πίσω τροχού (άξονας—κάθετη προβολή—ίχνος=»γενήτωρ» της τροχιάς) ,ή ακριβέστερα ,ως συνάρτηση του χρόνου t: Πx(t) και Πy(t). Aντίστοιχα για τον εμπρόσθιο : Εx(t) και Εy(t). Έστω, όπως ήδη την ονόμασα πριν, μ ,η απόσταση μεταξύ Π και Ε. (η αξονική απόσταση ή «μεταξόνιο»). Η κλίση της εφαπτομένης στην καμπύλη του Π ,που μας ενδιαφέρει, είναι: dy/dx = Π’y(t)/Π’x(t)
    dy/dx=Π’y(t)/Π’x(t)=(Ey(t) – Πy(t)) / (Ex(t) -Πx(t)) (1)
    μ^2 = (Ey(t) – Πy(t))^2 + (Ex(t) -Πx(t))^2 (2)
    Το ποδήλατο κινείται προς τα αριστερά ,άρα γενικά Εx(t)<Πx(t)
    Λύνοντας ως προς Εx,y, έχουμε τελικά:
    Ex(t)= Πx(t) – L /sqrt(1+(Π'y(t)/Π'x(t))^2) (3)
    Ey(t)= Πy(t) – (μ*Π'y(t)/Π'x(t)) / sqrt(1+(Π'y(t)/Π'x(t))^2) (4)
    Αν έχουμε λοιπόν τις συντεταγμενες του πίσω άξονα Πx και Πy ως συνάρτηση του χρόνου t , μπορούμε από τις (3) και (4) να βρούμε τις αντίστοιχες Εχ kai Ey για τον μπροστινό, σε οποιαδήποτε χρονική στιγμή.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Rizopoulos Georgios — Νοέμβριος 19, 2013 @ 12:45 πμ

  3. Για κίνηση (γενικά) «προς τα δεξιά» , το πρόσημο των τετρ.ριζών στις (3) και (4) γίνεται ( + )

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Rizopoulos Georgios — Νοέμβριος 19, 2013 @ 12:51 πμ

  4. Το L στην εξισ. (3) του σχολίου 2. είναι πληκτρολογική παραδρομή. μ το σωστό.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Rizopoulos Georgios — Νοέμβριος 19, 2013 @ 1:21 πμ

  5. Πολύ σωστά και συγχαρητήρια και για την περιγραφικότητα του λόγου ελλείψει δυνατότητας να αναφερθείς σε δικό σου σχήμα.

    Όχι, η διαφορική γεωμετρία δεν είναι το αντικείμενό μου αλλά στη συγκεκριμένη άσκηση λίγα είναι αυτά που απαιτούνται από διαφορική γεωμετρία. Ο απειροστικός λογισμός αρκεί.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Νοέμβριος 19, 2013 @ 10:44 μμ

  6. Ένα ωραίο βίντεο που εξηγεί εποπτικά το πρόβλημα και την λύση του είναι εδώ: https://www.simonsfoundation.org/multimedia/mathematical-impressions-bicycle-tracks/

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Μιχάλης Νικολάου — Ιανουαρίου 4, 2014 @ 12:59 πμ

  7. Όντως πολύ καλό video.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Ιανουαρίου 4, 2014 @ 1:06 πμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Δημιουργήστε ένα δωρεάν ιστότοπο ή ιστολόγιο στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: