Προβλήματα Μαθηματικών

Οκτώβριος 15, 2013

Νομίσματα πάνω σ’ ένα τραπέζι

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 10:48 πμ

coins-on-table

Σε ένα ορθογώνιο τραπέζι T βρίσκονται τοποθετημένα n όμοια, κυκλικά νομίσματα, με τέτοιο τρόπο ώστε δε χωράει να τοποθετηθεί άλλο νόμισμα πάνω στο τραπέζι αυτό χωρίς να επικαλύπτει μερικώς κάποιο από τα ήδη υπάρχοντα νομίσματα. (Ένα νόμισμα θεωρείται τοποθετημένο πάνω στο τραπέζι όταν το κέντρο του βρίσκεται πάνω στο τραπέζι; δε χρειάζεται να βρίσκεται ολόκληρο επάνω.)

Δείξτε ότι 4n νομίσματα αρκούν για να καλύψουν πλήρως το τραπέζι, φυσικά αλληλοκαλυπτόμενα.

Advertisements

2 Σχόλια »

  1. Καλησπέρα και συγχαρητήρια για τη σελίδα σας!
    Πολύ ωραίο και ασυνήθιστο πρόβλημα!
    Η απόδειξή μου είναι η εξής:
    Έστω, χωρίς βλάβη της γενικότητας ,πως κάθε νόμισμα-κύκλος από τα n έχει μοναδιαία ακτίνα ρ=1.
    Εφόσον τα n νομίσματα μη αλληλεπικαλυπτόμενα εξαντλούν το επίπεδο ως προς τον αριθμό των μοναδιαίων κύκλων, τα κέντρα δύο οποιωνδήποτε κύκλων απέχουν >= από 2ρ.
    Αν Κ το κέντρο ενός τυχαίου μοναδιαίου κύκλου δηλαδή, κάθε άλλο κέντρο, έστω Κ’, δεν μπορεί να περιέχεται στον ομόκεντρο κύκλο με κέντρο το Κ και ακτίνα ρ’=2ρ. Κατασκευάζουμε λοιπόν όλους αυτούς τους ομόκεντρους κύκλους με κέντρα τα Κn και ακτίνα =2 , Αν οι n αυτοί κύκλοι (οι οποίοι προφανώς αλληλεπικαλύπτονται) δεν κάλυπταν πλήρως το ορθογώνιο Τ , τότε θα μπορούσε να παρεμβληθεί τουλάχιστον ένας μοναδιαίος κύκλος (με ρ=1) ,πράγμα άτοπο αφού είχαν ήδη τοποθετηθεί όλοι οι δυνατοί μοναδιαίοι αρχικά. (ουσιαστικά εδώ, η εις άτοπον απαγωγή ταυτίζεται με την Αρχή του Περιστερώνα του Nτίριλεχτ) . Άρα το σύνολο των n κύκλων ακτίνας 2 «εξαντλούν» (καλύπτουν πλήρως) το επίπεδο Τ. Πώς οδηγούμαστε όμως στο ζητούμενο απ’εδώ;
    Απλώς μπορούμε να υποθέσουμε μια «σμίκρυνση» της εικόνας των n αλληλοκαλυπτώμενων κύκλων κατά παράγοντα(λόγο) = 0,5. Το ολικό εμβαδό προφανώς αντιστοιχεί/υπερκαλύπτει το ¼ του αρχικού (αφού η ακτίνα έγινε μισή ,δηλαδή 1)
    Άρα 4 σύνολα των n νομισμάτων ακτίνας 1 ,υπερκαλύπτουν το 4πλάσιο του ¼ του Τ, δηλαδή υπερκαλύπτουν το Τ. Δηλαδή 4*n νομίσματα υπερκαλύπτουν το Τ. Q.E.D

    Γιώργος Ριζόπουλος

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Rizopoulos Georgios — Οκτώβριος 30, 2013 @ 9:23 μμ

  2. Η λύση σας είναι σωστή.

    Δηλ. αν κρατήσουμε τα ίδια κέντρα και διπλάσουμε τις ακτίνες των νομισμάτων τότε αυτά θα καλύπτουν πλήρως το τραπέζι (αλλιώς θα υπήρχε ένα σημείο x του τραπεζιού που θα έμενε ακάλυπτο και θα μπορούσαμε με κέντρο το x να τοποθετήσουμε ένα νόμισμα, με την αρχική ακτίνα, που δε θα έτεμνε τα αρχικά τοποθετημένα νομίσματα, πράγμα άτοπο).

    Αφού λοιπόν τα διπλάσια νομίσματα καλύπτουν το τραπέζι τότε τα αρχικά νομίσματα (αλλά με τα κέντρα τους από τις θέσεις v στις θέσεις v/2) καλύπτουν τώρα το μισό τραπέζι (μισό σε κάθε διάσταση, άρα το 1/4 σε εμβαδό). Επαναλαμβάνοντας την εικόνα άλλες 3 φορές για να καλύψουμε τα άλλα 3 μισά έχουμε το ζητούμενο.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Οκτώβριος 31, 2013 @ 1:04 πμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Δημιουργήστε ένα δωρεάν ιστότοπο ή ιστολόγιο στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: