Το πρόβλημα αυτό πρότεινε ο Χρήστος Πελέκης
Αν είναι τυχαίες μεταβλητές και είναι μια αναδιάταξή τους ώστε , δείξτε ότι
Το πρόβλημα αυτό πρότεινε ο Χρήστος Πελέκης
Αν είναι τυχαίες μεταβλητές και είναι μια αναδιάταξή τους ώστε , δείξτε ότι
RSS feed for comments on this post. TrackBack URI
Εδώ θα τοποθετούμε προβλήματα μαθηματικών που θεωρούμε όμορφα. Τα πιο πολλά από αυτά δεν είναι τελείως στοιχειώδη και, κατά κανόνα, απαιτούν κάποιες γνώσεις μαθηματικών που αποκτά κανείς στο Πανεπιστήμιο (ή τουλάχιστον θα έπρεπε ...).
Στα σχόλια κάθε προβλήματος μπορείτε να γράφετε λύσεις, ιδέες, αντιρρήσεις, ερωτήσεις, σχολιασμούς, κλπ.
Αν έχετε κάποιο καλό πρόβλημα που θα θέλατε να αναρτηθεί εδώ στείλτε μας το με e-mail.
Ποιοί συνεισφέρουν προβλήματα:
Themis Mitsis στη Όρια ορίων και η χαρακτηριστικ… | |
Κωνσταντίνος Κουρουζ… στη Όρια ορίων και η χαρακτηριστικ… | |
Κωνσταντίνος Κουρουζ… στη Πόσα παιδιά είναι αγόρια; | |
George Rizopulos στη Μπορείτε να σκοτώσετε τον… | |
Mihalis Kolountzakis στη Μπορείτε να σκοτώσετε τον… | |
George Rizopulos στη Μπορείτε να σκοτώσετε τον… | |
George Rizopulos στη ΕΡΕΥΝΑ: «Έχετε απατήσει τη/ο σ… | |
George Rizopulos στη ΕΡΕΥΝΑ: «Έχετε απατήσει τη/ο σ… | |
Κωνσταντίνος Κουρουζ… στη Απλά γραφήματα | |
ΘΑΝΑΣΗΣ ΠΑΠΑΔΗΜΗΤΡΙΟ… στη Απλά γραφήματα | |
Κωνσταντίνος Κουρουζ… στη Απλά γραφήματα | |
ΘΑΝΑΣΗΣ ΠΑΠΑΔΗΜΗΤΡΙΟ… στη Απλά γραφήματα | |
Κωνσταντίνος Κουρουζ… στη Απλά γραφήματα | |
Κωνσταντίνος Κουρουζ… στη Απλά γραφήματα | |
ΘΑΝΑΣΗΣ ΠΑΠΑΔΗΜΗΤΡΙΟ… στη Απλά γραφήματα |
Δημιουργήστε ένα δωρεάν ιστότοπο ή ιστολόγιο στο WordPress.com.
Αυτό είναι τετριμμένο.
Μου αρέσει!Μου αρέσει!
Σχόλιο από Βασιλης Αιμονιωτης — 21 Ιουνίου, 2013 @ 10:07 πμ
Μάλλον κάτι άλλο θα εννοείτε.
Μου αρέσει!Μου αρέσει!
Σχόλιο από Βασιλης Αιμονιωτης — 21 Ιουνίου, 2013 @ 10:16 πμ
Δεν είναι τετριμμένο. Η αναδιάταξη είναι διαφορετική για κάθε σημείο του δειγματικού χώρου. Π.χ. Αν Ω={α,β}
Χ_1(α)=0, Χ_2(α)=1, Χ_1(β)=1, Χ_2(β)=-1, τότε Χ_(1)(α)=0 X_(1)(β)=-1, και Χ_(2)(α)=1=X_(2)(β).
Μου αρέσει!Μου αρέσει!
Σχόλιο από Michalis Loulakis — 21 Ιουνίου, 2013 @ 11:57 πμ
ΥΠΟΔΕΙΞΗ: Στην περίπτωση που η ζητούμενη ανισότητα γράφεται
Μου αρέσει!Μου αρέσει!
Σχόλιο από henk&christos — 5 Οκτωβρίου, 2013 @ 7:00 μμ
Χωρίς περιορισμό της γενικότητας, υποθέτουμε πως
$\latex \text{E}(X_1)\leq\text{E}(X_2)\leq\dotsb\leq\text{E}(X_n).$
Από τον τύπο
$\latex \text{Var}(X)=\text{E}(X^2)-\text{E}(X)^2,$
η δοθείσα ανισότητα είναι ισοδύναμη της
$\latex \displaystyle \text{E}(\sum_{i=1}^n X_i^2)-\sum_{i=1}^n \text{E}(X_i)^2\geq\text{E}(\sum_{i=1}^n X_{(i)}^2)-\sum_{i=1}^n \text{E}(X_{(i)})^2,$
ή
$\latex \sum_{i=1}^n \text{E}(X_i)^2\leq \sum_{i=1}^n \text{E}(X_{(i)})^2.$
Υπενθυμίζουμε την ανισότητα αναδιάταξης, η οποία λέει το εξής: αν $\latex a_1\leq\dotsb\leq a_n$ και $\latex b_1\leq\dotsb\leq b_n$ πραγματικοί, και $\latex b_{(1)},\dotsc,b_{(n)}$ μια αναδιάταξη της $\latex b_1,\dotsc,b_n$, τότε
$\latex \sum_{i=1}^n a_ib_i\geq\sum_{i=1}^n a_ib_{(i)}.$
Από την υπόθεση ισχύει ότι
$\latex \text{E}(X_{(1)})\leq\text{E}(X_{(2)})\leq\dotsb\leq\text{E}(X_{(n)}),$
επομένως, χρησιμοποιώντας την ανισότητα αναδιάταξης προκύπτει
$\latex \sum_{i=1}^n \text{E}(X_{(i)})^2=\text{E}(\sum_{i=1}^n X_{(i)}\text{E}(X_{(i)}))\geq\text{E}(\sum_{i=1}^n X_i\text{E}(X_{(i)}))=$
$\latex \sum_{i=1}^n \text{E}(X_i)\text{E}(X_{(i)})=\text{E}(\sum_{i=1}^n X_{(i)}\text{E}(X_i))\geq\text{E}(\sum_{i=1}^n X_i\text{E}(X_i))=$
$\latex =\sum_{i=1}^n \text{E}(X_i)^2,$
το οποίο ήταν το ζητούμενο.
Μου αρέσει!Μου αρέσει!
Σχόλιο από Romanos Malikiosis — 22 Οκτωβρίου, 2015 @ 4:05 μμ
Συγγνώμη, πρώτη φορά γράφω στο WordPress και δεν βγήκαν σωστά οι τύποι. Ξαναδοκιμάζω:
Χωρίς περιορισμό της γενικότητας, υποθέτουμε πως
Από τον τύπο
η δοθείσα ανισότητα είναι ισοδύναμη της
ή
Υπενθυμίζουμε την ανισότητα αναδιάταξης, η οποία λέει το εξής: αν και $\latex b_1\leq\dotsb\leq b_n$ πραγματικοί, και μια αναδιάταξη της , τότε
Από την υπόθεση ισχύει ότι
επομένως, χρησιμοποιώντας την ανισότητα αναδιάταξης προκύπτει
το οποίο ήταν το ζητούμενο.
Μου αρέσει!Μου αρέσει!
Σχόλιο από Romanos Malikiosis — 22 Οκτωβρίου, 2015 @ 4:11 μμ
Πολύ όμορφη προσέγγιση! Και πολύ κομψός ο τρόπος χρήσης της ανισότητας αναδιάταξης..
Είχα στο μυαλό μου την επανάληψη (iteration) της περίπτωσης n=2.
Μια ακόμη προγέγγιση (που σχετίζεται άμμεσα με αυτή του σχολίου 6) κάνει χρήση της ανισότητας Karamata:
https://en.wikipedia.org/wiki/Karamata%27s_inequality
Μου αρέσει!Μου αρέσει!
Σχόλιο από Christos Pelekis — 22 Οκτωβρίου, 2015 @ 7:49 μμ