Προβλήματα Μαθηματικών

Ιουνίου 18, 2013

Διασπορά και Διάταξη

Filed under: Άλυτα Προβλήματα — Michalis Loulakis @ 6:10 μμ

Το πρόβλημα αυτό πρότεινε ο Χρήστος Πελέκης

Αν X_1,X_2,\ldots,X_n είναι τυχαίες μεταβλητές και X_{(1)},X_{(2)},\ldots,X_{(n)} είναι μια αναδιάταξή τους ώστε X_{(1)}\le X_{(2)}\le\cdots\le X_{(n)}, δείξτε ότι

\displaystyle \text{Var}(X_1)+\text{Var}(X_2)+\cdots+\text{Var}(X_n)\ge \text{Var}(X_{(1)})+\text{Var}(X_{(2)})+\cdots+\text{Var}(X_{(n)})

 

Advertisements

7 Σχόλια »

  1. Αυτό είναι τετριμμένο.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Βασιλης Αιμονιωτης — Ιουνίου 21, 2013 @ 10:07 πμ

  2. Μάλλον κάτι άλλο θα εννοείτε.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Βασιλης Αιμονιωτης — Ιουνίου 21, 2013 @ 10:16 πμ

  3. Δεν είναι τετριμμένο. Η αναδιάταξη είναι διαφορετική για κάθε σημείο του δειγματικού χώρου. Π.χ. Αν Ω={α,β}
    Χ_1(α)=0, Χ_2(α)=1, Χ_1(β)=1, Χ_2(β)=-1, τότε Χ_(1)(α)=0 X_(1)(β)=-1, και Χ_(2)(α)=1=X_(2)(β).

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Michalis Loulakis — Ιουνίου 21, 2013 @ 11:57 πμ

  4. ΥΠΟΔΕΙΞΗ: Στην περίπτωση που n=2 η ζητούμενη ανισότητα γράφεται
    \displaystyle \text{Var}[X_1] + \text{Var}[X_2] \geq \text{Var}[\min (X_1,X_2)] + \text{Var}[\max (X_1,X_2)].

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από henk&christos — Οκτώβριος 5, 2013 @ 7:00 μμ

  5. Χωρίς περιορισμό της γενικότητας, υποθέτουμε πως

    $\latex \text{E}(X_1)\leq\text{E}(X_2)\leq\dotsb\leq\text{E}(X_n).$

    Από τον τύπο

    $\latex \text{Var}(X)=\text{E}(X^2)-\text{E}(X)^2,$

    η δοθείσα ανισότητα είναι ισοδύναμη της

    $\latex \displaystyle \text{E}(\sum_{i=1}^n X_i^2)-\sum_{i=1}^n \text{E}(X_i)^2\geq\text{E}(\sum_{i=1}^n X_{(i)}^2)-\sum_{i=1}^n \text{E}(X_{(i)})^2,$

    ή

    $\latex \sum_{i=1}^n \text{E}(X_i)^2\leq \sum_{i=1}^n \text{E}(X_{(i)})^2.$

    Υπενθυμίζουμε την ανισότητα αναδιάταξης, η οποία λέει το εξής: αν $\latex a_1\leq\dotsb\leq a_n$ και $\latex b_1\leq\dotsb\leq b_n$ πραγματικοί, και $\latex b_{(1)},\dotsc,b_{(n)}$ μια αναδιάταξη της $\latex b_1,\dotsc,b_n$, τότε

    $\latex \sum_{i=1}^n a_ib_i\geq\sum_{i=1}^n a_ib_{(i)}.$

    Από την υπόθεση ισχύει ότι

    $\latex \text{E}(X_{(1)})\leq\text{E}(X_{(2)})\leq\dotsb\leq\text{E}(X_{(n)}),$

    επομένως, χρησιμοποιώντας την ανισότητα αναδιάταξης προκύπτει

    $\latex \sum_{i=1}^n \text{E}(X_{(i)})^2=\text{E}(\sum_{i=1}^n X_{(i)}\text{E}(X_{(i)}))\geq\text{E}(\sum_{i=1}^n X_i\text{E}(X_{(i)}))=$

    $\latex \sum_{i=1}^n \text{E}(X_i)\text{E}(X_{(i)})=\text{E}(\sum_{i=1}^n X_{(i)}\text{E}(X_i))\geq\text{E}(\sum_{i=1}^n X_i\text{E}(X_i))=$

    $\latex =\sum_{i=1}^n \text{E}(X_i)^2,$

    το οποίο ήταν το ζητούμενο.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Romanos Malikiosis — Οκτώβριος 22, 2015 @ 4:05 μμ

  6. Συγγνώμη, πρώτη φορά γράφω στο WordPress και δεν βγήκαν σωστά οι τύποι. Ξαναδοκιμάζω:

    Χωρίς περιορισμό της γενικότητας, υποθέτουμε πως

    \text{E}(X_1)\leq\text{E}(X_2)\leq\dotsb\leq\text{E}(X_n).

    Από τον τύπο

    \text{Var}(X)=\text{E}(X^2)-\text{E}(X)^2,

    η δοθείσα ανισότητα είναι ισοδύναμη της

    \displaystyle \text{E}(\sum_{i=1}^n X_i^2)-\sum_{i=1}^n \text{E}(X_i)^2\geq\text{E}(\sum_{i=1}^n X_{(i)}^2)-\sum_{i=1}^n \text{E}(X_{(i)})^2,

    ή

    \sum_{i=1}^n \text{E}(X_i)^2\leq \sum_{i=1}^n \text{E}(X_{(i)})^2.

    Υπενθυμίζουμε την ανισότητα αναδιάταξης, η οποία λέει το εξής: αν a_1\leq\dotsb\leq a_n και $\latex b_1\leq\dotsb\leq b_n$ πραγματικοί, και b_{(1)},\dotsc,b_{(n)} μια αναδιάταξη της b_1,\dotsc,b_n, τότε

    \sum_{i=1}^n a_ib_i\geq\sum_{i=1}^n a_ib_{(i)}.

    Από την υπόθεση ισχύει ότι

    \text{E}(X_{(1)})\leq\text{E}(X_{(2)})\leq\dotsb\leq\text{E}(X_{(n)}),

    επομένως, χρησιμοποιώντας την ανισότητα αναδιάταξης προκύπτει

    \sum_{i=1}^n \text{E}(X_{(i)})^2=\text{E}(\sum_{i=1}^n X_{(i)}\text{E}(X_{(i)}))\geq\text{E}(\sum_{i=1}^n X_i\text{E}(X_{(i)}))=

    \sum_{i=1}^n \text{E}(X_i)\text{E}(X_{(i)})=\text{E}(\sum_{i=1}^n X_{(i)}\text{E}(X_i))\geq\text{E}(\sum_{i=1}^n X_i\text{E}(X_i))=

    =\sum_{i=1}^n \text{E}(X_i)^2,

    το οποίο ήταν το ζητούμενο.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Romanos Malikiosis — Οκτώβριος 22, 2015 @ 4:11 μμ

  7. Πολύ όμορφη προσέγγιση! Και πολύ κομψός ο τρόπος χρήσης της ανισότητας αναδιάταξης..
    Είχα στο μυαλό μου την επανάληψη (iteration) της περίπτωσης n=2.
    Μια ακόμη προγέγγιση (που σχετίζεται άμμεσα με αυτή του σχολίου 6) κάνει χρήση της ανισότητας Karamata:

    https://en.wikipedia.org/wiki/Karamata%27s_inequality

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Christos Pelekis — Οκτώβριος 22, 2015 @ 7:49 μμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Δημιουργήστε ένα δωρεάν ιστότοπο ή ιστολόγιο στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: