Προβλήματα Μαθηματικών

Ιουνίου 11, 2013

Αλυσίδες

Filed under: Λυμένα Προβλήματα,Με επιπλέον ερωτήματα — Mihalis Kolountzakis @ 11:33 μμ

circle

Ας είναι T ο μοναδιαίος κύκλος στο επίπεδο.

Η συνάρτηση f: T\to T είναι συνεχής. Αποδείξτε ότι υπάρχουν x_n \in T, n \in {\mathbb Z}, τ.ώ.

f(x_n) = x_{n+1}, για κάθε n\in{\mathbb Z}.

Δεν υποθέτουμε ότι η f είναι 1-1 ή επί.

Advertisements

12 Σχόλια »

  1. Ayto den einai tetrimmeno? Mipws exete paralipsei kati? Mhpws ta x(n) prepei na einai diaforetika ana dyo?

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από fivosk7 — Ιουνίου 12, 2013 @ 1:07 πμ

  2. Lathos m, molis proseksa oti ta n anikoun sto Z. Deixnoume aplws oti h f exei stathero shmeio…

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από fivosk7 — Ιουνίου 12, 2013 @ 1:10 πμ

  3. ΟΚ, την υπεραπλούστευσα την άσκηση παίρνοντας το σύνολο να είναι το κλειστό διάστημα. Δείτε την τώρα που η f δεν έχει κατ’ ανάγκη σταθερά σημεία. (Ισχύει όταν T είναι οποιοδήποτε συμπαγές σύνολο.)

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Ιουνίου 12, 2013 @ 1:20 πμ

  4. Αν η f είναι επί, τότε το συμπέρασμα είναι προφανές. Αν όχι, τότε υπάρχει yεΤ ώστε το y να μην είναι τιμή της f. Σ’ αυτή την περίπτωση, η f: Τ\{y}->Τ\{y} αντιστοιχεί σε μια συνάρτηση φ:(0,1)->(0,1), η οποία είναι ομοιόμορφα συνεχής (αφού το ίδιο είναι η f). Αυτό σημαίνει ότι υπάρχει μια συνεχής συνάρτηση φ*:[0,1]->[0,1] με την ιδιότητα φ*|(0,1)=φ. Άρα υπάρχει xε(0,1) με φ*(x)=φ(x)=x. (To x δεν μπορεί να είναι 0 ή 1, αφού το y δεν είναι τιμή της f). Άρα, η f ;έχει σταθερό σημείο και το συμπέρασμα έπεται.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Βασιλης Αιμονιωτης — Ιουνίου 13, 2013 @ 9:56 μμ

  5. Ένα μικρό λάθος, το ότι η φ είναι ομοιόμορφα συνεχής δεν φαίνεται τόσο άμεσα. Ισχύει όμως στη συγκεκριμένη περίπτωση, διότι τα όρια στα άκρα υπάρχουν στο R.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Βασιλης Αιμονιωτης — Ιουνίου 13, 2013 @ 10:37 μμ

  6. Πολύ ωραία.

    Τώρα λύστε το και για οποιοδήποτε συμπαγές T στη θέση του μοναδιαίου κύκλου.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Ιουνίου 13, 2013 @ 11:07 μμ

  7. Έστω Τ οποιοσδήποτε συμπαγής (τοπολογικός) χώρος Hausdorff και f:Τ->Τ μια συνεχής συνάρτηση. Τότε τα σύνολα Χ_1=Τ, f(Χ_n)=X_n+1, nεΤ, αποτελούν μια φθίνουσα ακολουθία μη κενών συμπαγών συνόλων, άρα η τομή των Χ_n είναι μη κενή. Έστω x ;ένα στοιχείο της. Θέτουμε x_0=x.
    Επίσης, η τομή των {yεΤ: f(y)=x και yεΧ_n} είναι μη κενή, άρα
    περιέχει ένα στοιχείο x_1. Συνεχίζοντας ανάλογα, κατασκευάζουμε μια ακολουθία x_n με την ιδιότητα f(x_n+1)=x_n, και το ζητούμενο έπεται.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Βασιλης Αιμονιωτης — Ιουνίου 14, 2013 @ 4:31 μμ

  8. Πολύ σωστά.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Ιουνίου 15, 2013 @ 2:07 πμ

  9. Νομίζω ότι και το παρακάτω είναι σωστό:

    Αν T συμπαγής χώρος και f,g:T\to T συνεχείς συναρτήσεις που αντιμετατίθενται, δηλ. f(g(x)) = g(f(x)) για κάθε x\in T, τότε υπάρχει διπλή ακολουθία

    x_{mn}, με m, n \in {\mathbb Z}

    τέτοια ώστε f(x_{mn}) = x_{m,n+1} και g(x_{mn}) = x_{m+1,n}, για κάθε x\in T, m, n \in {\mathbb Z}.

    Προσπαθείστε το.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Ιουνίου 15, 2013 @ 9:00 πμ

  10. Εφαρμόζοντας το προηγούμενο αποτέλεσμα για την fog, συμπεραίνουμε ότι υπάρχουν x_n, nεΤ, ωστε fog(x_n)=x_n+1, Αυτή η ακολουθία θα είναι η διαγώνιος για την διπλή ακολουθία που θέλουμε να κατασκευάσουμε, δηλαδή θέτουμε x_nn=x_n. Στη συνέχεια ορίζουμε x_m+1,n=
    g(x_m,n) και x_n,m+1= f(x_n,m) για m>=n. Εύκολα βλέπουμε ότι η παραπάνω διπλή ακολουθία έχει τις απαιτούμενες ιδιότητες (σκεφτείτε ένα διάγραμμα).

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Βασιλης Αιμονιωτης — Ιουνίου 15, 2013 @ 12:11 μμ

  11. Πολύ ωραία. Και η αντιμεταθετικότητα των f, g χρησιμοποιείται για να επαληθευθεί η ιδιότητα που πρέπει να έχει η ακολουθία που φτιάχνεις.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Ιουνίου 15, 2013 @ 1:38 μμ

  12. Καλό θα ήταν επίσης να έχουμε και μια απόδειξη ότι η αντιμεταθετικότητα είναι απαραίτητη υπόθεση.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Ιουνίου 15, 2013 @ 2:45 μμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Blog στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: