Προβλήματα Μαθηματικών

Απρίλιος 20, 2013

Προσέγγιση

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 6:33 μμ

Ένα πρόβλημα από τον Γιώργο Παπαδόπουλο.

Μπορείτε να εκτιμήσετε το άθροισμα

\displaystyle\sqrt[3]{1000}+\sqrt[3]{1001}+\cdots+\sqrt[3]{8000}

χωρίς χρήση ηλεκτρονικών υπολογιστών;

Advertisements

3 Σχόλια »

  1. Εστω F(x) η συνάρτηση «τρίτη ρίζα του x». Χωρίζουμε το διάστημα απο 999 ως 8000 στα διαστήματα [999, 1000],[1000, 1001], [1001, 1002], …, [7999, 8000]. Το ζητούμενο άθροισμα είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των ορθογώνιων με βάση ίση με 1 και ύψος την τιμή της συνάρτησης F(x) στο άκρο του κάθε διαστήματος, δηλαδή προσεγγίζει το ολοκλήρωμα της F(x) από 999 ως 8000 το οποίο ισούται περίπου ίσο με 112.510

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από xatzial1 — Σεπτεμβρίου 6, 2013 @ 3:50 πμ

  2. Η παραπάνω προσέγγιση μπορεί να βελτιωθεί:
    Αν γίνει ένα σχήμα, τότε διαπιστώνεται εύκολα ότι σε κάθε διάστημα το εμβαδό κάθε ορθογώνιου με βάση ίση με 1 και ύψος την τιμή της συνάρτησης F(x) στο άκρο του κάθε διαστήματος είναι μεγαλύτερο από το ολοκλήρωμα της F στο διάστημα αυτό (η συνάρτηση είναι αύξουσα). Η διαφορά των δύο αυτών τιμών μπορεί να προσεγγιστεί από το εμβαδό του ορθογώνιου τριγώνου με συντεταγμένες (xi, F(xi)), (xi, F(xj)), (xj, F(xj)) για κάθε διάστημα [xi, xj]. Αθροίζοντας λοιπόν όλα τα εμβαδά των τριγώνων, εύκολα καταλήγουμε στον αριθμό 5 τον οποίο προσθέτουμε στο 112.510 και παίρνουμε 112.515 σαν μια καλύτερη προσέγγιση.

    Ενας άμεσος υπολογισμος με mathematica επιστρέφει την τιμή 112.514999
    http://www.wolframalpha.com/input/?i=Sum%5Bx%5E%281%2F3%29%2C+x%3D1000..8000%5D&a=%5E_Real

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από xatzial1 — Σεπτεμβρίου 6, 2013 @ 3:42 μμ

  3. Σωστά.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Σεπτεμβρίου 6, 2013 @ 5:46 μμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Blog στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: