Προβλήματα Μαθηματικών

Δεκέμβριος 20, 2012

Πάλι αποστάσεις

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 9:55 μμ

Ένα πρόβλημα από τον Χρήστο Πελέκη.

Ένα υποσύνολο τού [0,1] με μέτρο μεγαλύτερο από 1/2, περιέχει δυο σημεία που έχουν απόσταση 0.1. Σωστό ή λάθος;

Advertisements

5 Σχόλια »

  1. Σωστό!
    Έστω ότι το σύνολο Α δεν περιέχει τέτοιο ζευγάρι σημείων. Χωρίζουμε το [0,1] σε 10 κομμάτια [0,0.1] – [0.1,0.2] κλπ. Λέμε α1 την τομή του συνόλου μας με το πρώτο κομμάτι κλπ
    Προφανώς μ(Α) = μ(α1) + μ(α2) + … + μ(α10)
    Είναι όμως και α1 + 0.1 ξένο με το α2 και α1+ 0.1 υποσύνολο του [0.1,0.2].
    Άρα μ(α1) + μ(α2) = μ(α1+0.1) + μ(α2) <= μ( [0.1,0.2] ) = 0.1

    Όμοια και μ(α3) + μ(α4) κλπ

    Προσθέτοντας τις 5 αυτές ισότητες πέρνουμε μ(Α) = μ(α1) + … + μ(α10) <= 0.5

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από shortmanikos — Ιανουαρίου 18, 2013 @ 12:30 πμ

  2. Πώς ξέρεις ότι τουλάχιστο μια από τις πέντε ανισότητες που προσθέτεις είναι γνήσια;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Ιανουαρίου 18, 2013 @ 11:31 μμ

  3. Ανοησία αυτό που έγραψα πριν. Σωστή η λύση.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Ιανουαρίου 19, 2013 @ 4:36 μμ

  4. Να προτείνω μια ακόμα λύση που μπορείτε να δείτε σαν εφαρμογή της ‘πιθανοθεωρητικής μεθόδου’.

    Πάρτε στη τύχη έναν αριθμό από το [0,1]. Αύτο περιγράφεται από μία τυχαία μεταβλητή, X,
    που ακολουθεί ομοιόμορφη κατανομή στο [0,1]. Χωρίστε το [0,1] σε δέκα
    υποδιαστήματα όπως στο σχόλιο 1 και αριθμήστε τα, I_1,I_2,\ldots, I_{10}.
    Η X θα ‘πέσει’ σε κάποιο από αυτά τα κομμάτια.
    (δε μας ενδιαφέρει τι γίνεται στα άκρα των υποδιαστημάτων..)
    Αν πέσει σε κάποιο κομμάτι με άρτιο δείκτη, ορίστε Y = X-0.1.
    Αν πέσει σε κομμάτι με περιττό δείκτη, ορίστε Y=X+0.1.
    Η Y είναι κι αυτή με τη σειρά της τυχαία μεταβλητή που
    ακολουθεί ομοιόμορφη κατανομή στο [0,1].

    Τώρα, το γεγονός ότι το μέτρο του A είναι > \frac{1}{2} δίδει ότι \mathbb{P}[X\notin A]<\frac{1}{2}.
    Για τον ίδιο λόγο έχουμε επίσης ότι \mathbb{P}[Y\notin A]0.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από henk&christos — Φεβρουαρίου 6, 2013 @ 10:05 μμ

  5. ‘Έφαγε΄την τελευταία γραμμή..

    Για τον ίδιο λόγο έχουμε επίσης ότι \mathbb{P}[Y\notin A]< 1/2.
    Οπότε \mathbb{P}[X\notin A \cup Y\notin A] \leq \mathbb{P}[X\notin A]+ \mathbb{P}[Y\notin A]  0.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από henk&christos — Φεβρουαρίου 6, 2013 @ 10:09 μμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Δημιουργήστε ένα δωρεάν ιστότοπο ή ιστολόγιο στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: