Προβλήματα Μαθηματικών

Δεκέμβριος 10, 2012

Διαιρετότητα

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 10:36 μμ

Αν a,n>1 είναι φυσικοί αριθμοί δείξτε ότι το n διαιρεί το \phi(a^n-1), όπου \phi(k) (η συνάρτηση του Euler) είναι το πόσοι αριθμοί από 1 έως k-1 είναι πρώτοι ως προς το k.

Από από τον Φοίβο Κατσετσιάδη.

Advertisements

7 Σχόλια »

  1. Θεωρούμε την υποομάδα [tex][/tex] του [tex](\mathbb{Z}/(a^n-1)\mathbb{Z})^x[/tex]. Έχει κλάση n και από το θεώρημα Lagrange θα διαιρεί τον αριθμό [tex]\varphi (a^n-1)[/tex]

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Kostas Kartas — Ιουλίου 20, 2013 @ 2:06 πμ

  2. Πάνω εννοούσα την υποομάδα [tex][/tex].
    Επίσης με ποιόν τρόπο εμφανίζεται ο κώδικας Latex ?

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Kostas Kartas — Ιουλίου 20, 2013 @ 2:14 πμ

  3. Γράφεις latex ανάμεσα στις λέξεις Xlatex και X, όπου στη θέση του X βάζεις το σύμβολο του δολλαρίου ($). Ποια είναι η υποομάδα σου;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Ιουλίου 20, 2013 @ 8:48 πμ

  4. Είναι η υποομάδα =\left \{ 1,a,...,a^{n-1} \right \}
    της ομάδας (\mathbb{Z}/(a^n-1)\mathbb{Z})^x

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Kostas Kartas — Ιουλίου 20, 2013 @ 2:35 μμ

  5. Σωστά.

    Κάθε στοιχείο της μορφής a^k, με 0\le k < n, έχει πολλαπλασιαστικό αντίστροφο mod a^n-1, το στοιχείο a^{n-k}, αφού το γινόμενο a^n \cdot a^{n-k} = a^n \equiv 1 \bmod a^n-1. Το σύνολο αυτό είναι προφανέστατα ομάδα, υποομάδα της πολλαπλασιαστικής ομάδας {\mathbb Z}^\times_{a^n-1} (= όλα τα στοιχεία του \{0,1,2,\ldots,a^n-2\} που έχουν πολλαπλασιαστικό αντίστροφο mod a^n-1), της οποίας η τάξη είναι \phi(a^n-1), άρα από το θεώρημα του Lagrange (η τάξη της υποομάδας διαιρεί την τάξη της ομάδας) έπεται το ζητούμενο.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Ιουλίου 20, 2013 @ 2:41 μμ

  6. Έχω βάλει μπάρες πάνω από τα 1,α,…,α^n-1 για να δηλώσω ότι είναι κλάσεις αλλά δεν εμφανίζονται …

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Kostas Kartas — Ιουλίου 20, 2013 @ 2:44 μμ

  7. Δε βαριέσαι, δε χρειάζεται. Εγώ ποτέ δε βάζω.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Ιουλίου 20, 2013 @ 2:45 μμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Δημιουργήστε ένα δωρεάν ιστότοπο ή ιστολόγιο στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: