Προβλήματα Μαθηματικών

Νοέμβριος 6, 2012

Εκλογικές αντιφάσεις

Filed under: Λυμένα Προβλήματα,Με επιπλέον ερωτήματα — Mihalis Kolountzakis @ 10:13 μμ

Σε ένα ελληνικό Πανεπιστήμιο έγιναν πρόσφατα, μετά πολλών βασάνων, οι εκλογές για το Συμβούλιο Διοίκησης, με το νέο, για την Ελλάδα, σύστημα της ταξινομικής ψήφου. Με αυτό το σύστημα οι εκλογείς ψηφίζουν διατάσσοντας τους υποψηφίους γραμμικά (1η προτίμηση, 2η κλπ).

Μετά την εκλογή του Συμβουλίου η Εφορευτική Επιτροπή δημοσιεύει κάποια στατιστικά στοιχεία για τους ψήφους που κατατέθηκαν με σκοπό να ενημερώσει το εκλογικό σώμα σεβόμενη ταυτόχρονα τη νομιμότητα που επιβάλλει το κρυφό της ψήφου του καθενός. Τότε όμως διαπιστώνεται το εξής παράδοξο: οι τρεις συνολικά υποψήφιοι Α, Β, και Γ είχαν μεταξύ τους τις εξής διαφορές προτιμήσεων:

  • Τα 2/3 των εκλογέων προτιμούσαν τον Α από τον Β (δηλ. κατέταξαν τον Α σε υψηλότερη θέση),
  • Τα 2/3 των εκλογέων προτιμούσαν τον Β από τον Γ, και,
  • παρ’ όλ’ αυτά, τα 2/3 των εκλογέων προτιμούσαν τον Γ από τον Α!

Μετά από αυτή τη συνταρακτική διαπίστωση οι ορκισμένοι αντίπαλοι του νέου τρόπου διοίκησης των Πανεπιστημίων στην Ελλάδα ετοιμάζονται να προσφύγουν στο Συμβούλιο Επικρατείας ισχυριζόμενοι ότι υπήρξε αλλοίωση των αποτελεσμάτων και ότι δεν είναι δυνατό να ισχύουν τα παραπάνω τρία συγκεντρωτικά στοιχεία καθότι είναι μεταξύ τους αντιφατικά.

Είναι;

Advertisements

9 Σχόλια »

  1. Arrow?

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από adamo — Νοέμβριος 6, 2012 @ 10:35 μμ

  2. >———–>>>> Δηλαδή;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Νοέμβριος 7, 2012 @ 1:55 μμ

  3. επίκαιρο….. αλλά απλό. Τρεις ψηφοφόροι ψηφίζουν
    Α -> Β -> Γ
    Γ -> Α -> Β
    Β -> Γ -> Α

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από shortmanikos — Νοέμβριος 7, 2012 @ 3:14 μμ

  4. shortmanikos: Σωστό.

    Μπορείτε να δείξετε ότι όποιος κι αν είναι ο αριθμός των υποψηφίων, έστω k, και όποιες κι αν θελήσετε να είναι οι μεταξύ τους εκλογικές συγκρίσεις τότε πάντα υπάρχει τρόπος να ψηφίσει το εκλογικό σώμα ώστε να υλοποιηθούν ακριβώς αυτές οι συγκρίσεις;

    Να εξηγήσω λίγο καλύτερα τι εννοώ:

    (α) Κάθε ψήφος ενός εκλογέα είναι μια λίστα μήκους k στην οποία έχουν διαταχθεί και οι k υποψήφιοι.

    (β) Δύο υποψήφιοι i και j έχουν διαταχθεί από την εκλογική διαδικασία ως i -> j αν και μόνο αν ο i προηγείται του j σε περισσότερες ψήφους απ’ ό,τι ο j προηγείται του i.

    (γ) Μια επιθυμητή διάταξη των υποψηφίων είναι μια οποιαδήποτε ανάθεση κατεύθυνσης στις ακμές του πλήρους γραφήματος ανάμεσα στους k υποψηφίους. Όταν η ακμή i j έχει κατεύθυνση από το i στο j αυτό πάει να πει ότι επιθυμούμε μετά την εκλογική διαδικασία να ισχύσει η σύγκριση i –> j όπως περιγράφεται στο (β).

    Δείξτε ότι κάθε επιθυμητή διάταξη των υποψηφίων μπορεί να υλοποιηθεί αν οι εκλογείς ψηφίσουν κατάλληλα.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Νοέμβριος 7, 2012 @ 3:35 μμ

  5. @kolount:

    Εννοώ πως αυτό που σκέφτηκα διαβάζοντας την εκφώνηση ήταν το impossibility theorem του Arrow.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από adamo — Νοέμβριος 8, 2012 @ 1:40 πμ

  6. @adamo:

    Μάλλον σχετίζονται τα δύο αλλά εγώ μιλούσα μάλλον για κάτι πιο απλό.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Νοέμβριος 8, 2012 @ 11:56 μμ

  7. Για n υποψήφιους θεωρώ το ζευγάρι ψήφων
    1 – 2 – 3 ….(n-1) – n και
    n – (n-1) – … – 1 – 2

    αυτό το ζευγάρι «δημιουργεί» την ακμή 1 –> 2 και αφήνει όλα τα υπόλοιπα ζευγάρια ανεπηρέαστα.
    Αφού στη θέση των 1-2 μπορώ να θεωρήσω οποιαδήποτε i-j μπορώ χρησιμοποιώντας κατάλληλα τέτοια ζευγάρια να πάρω όποια διάταξη θέλω!

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από shortmanikos — Νοέμβριος 9, 2012 @ 2:27 μμ

  8. shortmanikos:

    Πολύ σωστά. Με 2{k \choose 2}, δηλ. δύο ψηφοφόρους ανά ζεύγος υποψηφίων (k = n στο δικό σου συμβολισμό), μπορούμε να πετύχουμε οποιεσδήποτε σχέσεις ανάμεσα στους υποψηφίους. Η πρόταση αυτή ονομάζεται θεώρημα του McGarvey (1953).

    Δείτε αν θέλετε και τη διάλεξη του Noga Alon με τίτλο «Voting Paradoxes and Combinatorics» η οποία απευθύνεται στο ευρύ κοινό.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Νοέμβριος 9, 2012 @ 8:42 μμ

  9. Γιώργος Τζιρίτας (Αντιπρύτανης Υποδομών, Καθηγητής Τμήματος Επιστήμης Υπολογιστών, Πανεπιστήμιο Κρήτης), Από τη μέθοδο του Μαρκησίου του Condorcet στην εκλογή του Συμβουλίου.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Stazybο Hοrn — Νοέμβριος 11, 2012 @ 1:35 μμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Δημιουργήστε ένα δωρεάν ιστότοπο ή ιστολόγιο στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: