Υπάρχει σημείο τού επιπέδου το οποίο να απέχει ρητές αποστάσεις και από τις 4 κορυφές τού μοναδιαίου τετραγώνου; Το πρόβλημα αυτό το έμαθα από πρωτοετείς φοιτητές τού Πανεπιστημίου Κρήτης.
3 Νοεμβρίου, 2012
4 Σχόλια »
RSS feed for comments on this post. TrackBack URI
vsk h’ duo h’ tessera th einai t shmeia..oxi mono ena.
( an uparxoun etc!)
Μου αρέσει!Μου αρέσει!
Σχόλιο από Stelios Mach — 16 Δεκεμβρίου, 2012 @ 5:13 πμ
vsk akuro….
Μου αρέσει!Μου αρέσει!
Σχόλιο από Stelios Mach — 16 Δεκεμβρίου, 2012 @ 5:22 πμ
Έστω υπάρχει σημείο P για το οποίο να ισχύει το ζητούμενο. Επίσης,ονομάζουμε τις κορυφές του τετραγώνου ως Α(0,0), Β(1,1), Γ(1,0), Δ(0,1). Τότε, το τρίγωνο ABP θα έχει πλευρές μήκους . Aν θ είναι η γωνία μεταξύ των ΑB και BP τότε θα ισχύει:
, άρα
Εφόσον όλες οι αποστάσεις είναι ρητές, και το θα είναι ρητό. Θα αποδείξουμε πως αυτό συμβαίνει μόνο όταν ή .
Πρώτα απ’ όλα, προκειμένου το να είναι ρητό θα πρέπει το να είναι αλγεβρικός αριθμός. Αυτό γιατί σε αντίθετη περίπτωση θα ίσχυε πως για τον υπερβατικό αριθμό , , δηλαδή το θα είναι ρίζα της εξίσωσης , άτοπο αφού το a είναι υπερβατικό.
Ξέρουμε από την θεωρία Galois πως τα μοναδικά αλγεβρικά συνημίτονα γωνιών μικρότερων από είναι της μορφής , όπου ακέραιος (αυτό βασικά είναι το μόνο σημείο της απόδειξης που θέλει επιβεβαίωση. Αν και είμαι βέβαιος πως το έχω δει σε βιβλίο Άλγεβρας, έψαξα μία τα κιτάπια μου και δεν μπόρεσα να το εντοπίσω). Επιπλέον,
.
Yψώνοντας στο τετράγωνο παίρνουμε πως θα πρέπει να είναι ρητός ο
Άρα θα πρέπει ρητός και ρητός. Το πρώτο απαιτούμενο ισχύει για , ενώ αν λάβουμε υπόψη και το δεύτερο τότε βρίσκουμε πως θα πρέπει η γωνία ή .
Έστω . Ξέρουμε πως η ευθεία ΑΒ διχοτομεί τις 2 σχετικές ορθές γωνίες του τετραγώνου, άρα το σημείο P θα πρέπει να βρίσκεται πάνω στην πλευρά ΒΓ. Αν επαναλάβουμε την ανάλυση παίρνοντας την γωνία μεταξύ των ΑB και ΑP τότε θα βρούμε πως το P θα πρέπει να βρίσκεται πάνω στην πλευρά ΑΓ. Αν επαναλάβουμε την ανάλυση για το τρίγωνο ΓΔΡ τότε βρίσκουμε τελικά πως το P θα έπρεπε να βρίσκεται ταυτόχρονα πάνω σε όλες τις πλευρές του τετραγώνου. Άτοπο. Ομοίως για . Άρα δεν υπάρχει τέτοιο σημείο του επιπέδου.
Μου αρέσει!Μου αρέσει!
Σχόλιο από fotisgiagkoylas — 9 Μαρτίου, 2013 @ 8:17 μμ
Σωστό.
Μου αρέσει!Μου αρέσει!
Σχόλιο από Themis Mitsis — 13 Μαρτίου, 2013 @ 8:15 μμ