Προβλήματα Μαθηματικών

Σεπτεμβρίου 27, 2012

Περιστρεφόμενοι δίσκοι

Filed under: Λυμένα Προβλήματα,Με υπόδειξη — Mihalis Kolountzakis @ 11:28 μμ

Σε κάθε ακέραιο σημείο του επιπέδου (m,n), με m,n\in{\mathbb Z}, έχουμε κεντράρει ένα δίσκο ακτίνας \epsilon>0 γεμάτο με μπλε μελάνι. Έπειτα περιστρέφουμε όλους αυτούς τους δίσκους μαζί γύρω από την αρχή των αξόνων κατά μια ολόκληρη περιστροφή (ούτως ώστε κάθε δίσκος γράφει ένα κύκλο στο επίπεδο και επιστρέφει στην αρχική του θέση). Απ’ όπου περνάει ο κάθε δίσκος αφήνει ένα μπλε ίχνος όπου ακουμπήσει.

Δείξτε ότι υπάρχει κάποια πεπερασμένη ακτίνα R ούτως ώστε έξω από τον κύκλο με κέντρο το (0,0) και ακτίνα R τα πάντα είναι μπλέ.

Advertisements

10 Σχόλια »

  1. Υπόδειξη: Για να εμπνευστείτε δείτε και το παλαιότερο πρόβλημα

    https://kolount.wordpress.com/2008/05/19/%CE%B1%CE%B8%CF%81%CE%BF%CE%AF%CF%83%CE%BC%CE%B1%CF%84%CE%B1-%CE%B4%CF%8D%CE%BF-%CF%84%CE%B5%CF%84%CF%81%CE%B1%CE%B3%CF%8E%CE%BD%CF%89%CE%BD/

    και σκεφτείτε λίγο για τη συμπεριφορά των αριθμών r_n όπου
    0<r_1=1<r_2=\sqrt{2}<r_3<\cdots
    είναι οι ακτίνες όλων των κύκλων με κέντρο το (0,0) που περνάνε από κάποιο ακέραιο σημείο.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Οκτώβριος 5, 2012 @ 3:06 μμ

  2. Edaksei, h ypodeiksh ta leei ola… Einai safes oti h a(n)=r(n+1)-r(n) (opou h r(n) h ayksousa akolouthia twn aktinwn) teinei 0 kathws n teinei + apeiro. Ara gia n>N a(n)<ε kai apo ekei kai pera ola einai mple…

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από fivosk7 — Φεβρουαρίου 7, 2013 @ 2:54 μμ

  3. Ακριβώς.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Φεβρουαρίου 7, 2013 @ 4:01 μμ

  4. Η λύση η οποία σκέφτηκα είναι η εξής.
    Αρκεί μετά την περιστροφή να έχει χροματιστεί ολόκληρος ο x’x άξωνας εκτός απο μια περιοχή με κέντρο το 0. Στον χ λοιπόν άξωνα θα βρεθούν τα κέντρα τον μικρών κύκλων μετά απο περιστροφή και συγκεκριμένα θα είναι στισ θέσεις sqrt(n^2+k^2) όπου ν είναι η τετμημένη κ k η τεταγμένη με 0<=k0 τέτοιο ώστε η ένωση να έχει την προηγούμενη μορφή. Ακόμα γνωρίζω πως sqrt(n^2 + k^2) 0 n0: για κάθε n>=n0 να ισχύει sqrt(n^2 + (k+1)^2 – sqrt(n^2 + k^2) <= 2e για κάθε k (με 0<=k<=n)
    Αυτό όμως είναι ισοδύναμο με το να δείξω οτι το όριο αυτής της διαφοράς καθώς το n πάει στο άπειρο υπάρχει και είναι ίσο με το 0 κάτι που είναι ολοφάνερο οτι ισχύει.

    Να συμμειωθεί ότι δεν χρεισημοποιήθηκαι η υπόδηξη για την λύση της άσκησης. Συγγνώμη για την άσχημη γραφή αλλά δεν γνωρίζω πώς να εισάγω μαθηματικά σύμβολα.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Charidimos Kiosterakis — Μαΐου 17, 2013 @ 4:09 μμ

  5. Πιθανότατα σωστό, αλλά δοκίμασε σε παρακαλώ να το ξαναγράψεις πιο καθαρά γιατί δε βγάζω εύκολα νόημα (και φαντάζομαι και οι υπόλοιποι αναγνώστες).

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Μαΐου 20, 2013 @ 12:07 μμ

  6. Αυτό που ισχυρίζομαι είναι πως δεν χρειάζεται να βρούμε μια αύξουσα διάταξη ακτίνων απλά αρκεί το γεγονός ότι για μεγάλα n η διαφορά των ακτίνων sqrt(n^2 + k^2) και sqrt(n^2 + (k+1)^2) να μπορεί να είναι μικρότερη απο 2e που ισχύει απο ένα n1 και έπειτα. Αυτό εξασφαλίζει πως το διάστημα [n, n*sqrt(2)] στον άξωνα χ’χ θα βαφτεί μπλε. Όμως και το διάστημα [n+1, (n+1)*sqrt(2)] στον χ’χ θα είναι μπλε. Για μεγάλα όμως n (έστω μεγαλύτερα από n2) τα διαστήματα έχουν μη μιδενική τομή (ισχύει τελικά ότι n*sqrt(2)>= n+1). Τώρα για n>= max{n1,n2} θα ισχύουν και τα δύο οπότε από εκεί και πέρα ο χ’χ θα είναι όλος μπλέ. Αφού όμως ο χ’χ είναι μπλέ θα υπάρχει ακτίνα R ούτως ώστε έξω από τον κύκλο με κέντρο το (0,0) και ακτίνα R τα πάντα είναι μπλέ. Δεν μπορώ να το εξηγήσω καλύτερα χωρίς σχήμα και χωρίς χαρτί, νομίζω αυτή την φορά να έγινε περισσότερο κατανοητό. Την ιδέα σας την είχα αναφέρει και στο γραφείο σας.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Charidimos Kiosterakis — Μαΐου 21, 2013 @ 1:45 πμ

  7. Το διάστημα [n, n\sqrt{2}] πώς προέκυψε;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Μαΐου 23, 2013 @ 11:17 πμ

  8. Αν πάρω τον κύκλο με κέντρο (n,0) και τον περιστρέψω τότε θα βαφτεί στον χ’χ το διάστημα [n-ε,n+ε], αν πάρω τώρα τον κύκλο με κέντρο (n,1) και το περιστρέψω θα βαφτεί και το διάστημα [sqrt(n^2 + 1) – ε, sqrt(n^2 +1) – ε] στον χ’χ…. Τέλος αν πάρω και τον κύκλο κέντρου (n,n) θα βαφτεί και το διάστημα [n*sqrt(2) – ε, n*sqrt(2) + ε] του χ’χ. Όμως έχω πεί ότι η ένωση αυτών των διαστημάτων δήνει διάστημα οπότε θα πάρω ότι το διάστημα [n – ε, n*sqrt(2) + ε] είναι μπλε και απο εδώ προκύπτει το [n, n*sqrt(2)]. Έγινα κατανοϊτός?

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Charidimos Kiosterakis — Μαΐου 23, 2013 @ 7:36 μμ

  9. Μια χαρά.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Μαΐου 26, 2013 @ 2:41 πμ

  10. Ευχαριστώ

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Charidimos Kiosterakis — Μαΐου 27, 2013 @ 12:17 πμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Δημιουργήστε ένα δωρεάν ιστότοπο ή ιστολόγιο στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: