Προβλήματα Μαθηματικών

Ιουλίου 12, 2012

Στοιχειώδης ανισότητα

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 6:31 μμ

Άλλο ένα πρόβλημα από τον Γιώργο Παπαδόπουλο.

Αν 2a^2+4b^2+6c^2=3, τότε 3^{-a}+9^{-b}+27^{-c}\geq1.

Advertisements

4 Σχόλια »

  1. Jensen στην f(x)=3^{-x} παιρνουμε οτι αρκει νδο a+2b+3c \leq 3 . Απο cauchy-swartz για a, b\sqrt{2}, c\sqrt{3} και 1,\sqrt{2}, \sqrt{3} έχουμε \frac{3}{2} 6 \geq (a+2b+3c)^{2} δηλαδη a+2b+3c \leq 3 οπως θελαμε. Το θεμα ειναι οτι η Jensen δινει ισοτητα για a=2b=3c ενω η cs για a=b=c επομενως μηπως η μοναδα δεν πιανεται τελικα αλλα ειναι γνησια >1 ?

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από rallis (@rallis22) — Ιουλίου 18, 2012 @ 4:55 μμ

  2. αυτή την παθογένεια… οτι δε βγαίνει το ίσο με 1 το παρατήρησα κι εγώ!

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από alexandrosgalanakis — Ιουλίου 19, 2012 @ 1:06 πμ

  3. Using AM-GM inequality in the problem, we have
    3^{-a} + 9^{-b} + 27^{-c} \geq 3^{1-\frac{a}{3} - \frac{2b}{3} - c}
    So, in order to show that 3^{-a} + 9^{-b} + 27^{-c} \geq 1,it’s enough to show that 3^{1 - \frac{a}{3} - \frac{2b}{3}-c} >1 or a+ 2b+ 3c < 3.
    By Cauchy-Schwarz inequaltiy:
    |a+2b+3c| \leq \sqrt{1+ 2 + 3} \sqrt{a^2 + 2b^2 + 3c^2} \leq\sqrt{6} \sqrt{\frac{3}{2}} = 3
    and the result follows.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από removablesingularity — Ιουλίου 19, 2012 @ 7:26 πμ

  4. Όλα σωστά.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Ιουλίου 23, 2012 @ 9:05 μμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Δημιουργήστε ένα δωρεάν ιστότοπο ή ιστολόγιο στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: