Προβλήματα Μαθηματικών

Απρίλιος 5, 2012

Δίκτυο ευθειών

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 2:23 μμ

Το πρόβλημα προτείνει ο Αλέξανδρος Γαλανάκης.

Στο επίπεδο δίνονται n διαφορετικές μεταξύ τους ευθείες που τέμνονται ανά δυο αλλά ανά τρείς δεν τέμνονται στο ίδιο σημείο. Να βρείτε το πλήθος των φραγμένων και μη φραγμένων χωρίων που δημιουργούνται.

Advertisements

5 Σχόλια »

  1. Για τα μη φραγμένα χωρία, κατέληξα ότι η απάντηση είναι 2n.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από George Filippopoulos — Μαΐου 19, 2012 @ 5:35 μμ

  2. Για τα φραγμένα (n^2-3n+2)/2, n>2.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από George Filippopoulos — Μαΐου 19, 2012 @ 5:53 μμ

  3. Θέλεις να μας εξηγήσεις λίγο;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Μαΐου 20, 2012 @ 4:54 μμ

  4. Θα ‘θελα να βάλω και ένα σχήμα, αλλά δεν ξέρω πως γίνεται.
    Μπορούμε να θεωρήσουμε ένα πολύπλευρο, που περιβάλει όλα τα κλειστά χωρία. Όλα τα μη φραγμένα χωρία θα εκτείνονται από το πολύπλευρο ως το άπειρο. Από πολύ μακρυά το πολύπλευρο θα φαίνεται σαν ένα σημείο, οπότε το πλήθως των μη φραγμένων χωρίων θα είναι όσο και στην περίπτωση που όλες οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο, δηλαδή 2n.
    Συνεχίζουμε το ίδιο σκεπτικό, ότι δηλαδή βλέπουμε τις ευθείες από αρκετά μακρυά, ώστε να φαίνονται σαν να τέμνονται στο ίδιο σημείο, για όλες εκτός από την n-οστή. Θεωρούμε δηλαδή ότι η n-οστή ευθεία είναι πολύ μακρυά από τα σημεία που τέμνονται οι υπόλοιπες n-1 ευθείες. Έτσι τα n-1 σημεία τομής της n-οστής ευθείας με τις υπόλοιπες είναι ευδιάκριτα. Τα νέα χωρία που σχηματίζονται κατ’ αυτόν τον τρόπο είναι n-2 «τριγωνικά» χωρία και 2 μη φραγμένα. Τα «τριγωνικά» έχουν κορυφές δυο γειτονικά σημεία τομής τις n-οστής ευθείας με τις υπόλοιπες ευθείες και το πολύγωνο το οποίο φαίνεται ως σημείο. Έτσι, το πλήθος των φραγμένων χωρίων είναι Σ(i-2), όπου i = 3 έως n, επειδή για φραγμένο χωρίο χρειαζόμεστε τουλάχιστον τρεις ευθείες.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από George Filippopoulos — Μαΐου 20, 2012 @ 5:30 μμ

  5. Σωστά

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Μαΐου 24, 2012 @ 12:47 πμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Blog στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: