Προβλήματα Μαθηματικών

Απρίλιος 5, 2012

Άθροισμα ψηφίων

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 2:36 μμ

Το πρόβλημα προτείνει ο Αλέξανδρος Γαλανάκης.

΄Εστω θετικοί ακέραιοι αριθμοί a, b τέτοιοι ώστε ο αριθμός a^2 + b^2 =0\!\mod\!(ab+1). Να δείξετε ότι ο αριθμός \displaystyle\frac{a^2+b^2}{ab+1} δεν μπορεί να έχει τελικό άθροισμα ψηφίων 5.

Advertisements

5 Σχόλια »

  1. Θα χρησιμοποιήσουμε το γεγονός ότι ένας αριθμός n έχει τελικό άθροισμα ψηφίων 5 ανν n\equiv 5 \mod 9.

    Υποθέτουμε ότι a^2+b^2=k(ab+1) (ισοδύναμα a^2+b^2\equiv 0 \mod ab+1) οπότε πρέπει να δείξουμε ότι ο αριθμός k=\frac{a^2+b^2}{ab+1} δεν έχει τελικό άθροισμα ψηφίων 5 ή ισοδύναμα k \not\equiv 5 \mod9. Άρα αρκεί να δείξουμε ότι η Διοφαντική εξίσωση

    a^2+b^2=kab+k\;\;\;\;\; (*)

    δεν έχει λύση (ως προς a,b) για k \equiv 5 \mod9. Εμείς θα δείξουμε το λίγο πιο γενικό ότι δεν έχει λύση για k \equiv2 \mod3.

    Υποθέτουμε λοιπόν ότι k\equiv 2 \mod3. Η (*) γράφεται ισοδύναμα σαν (2a-kb)^2-(k^2-4)b=4k οπότε \mod3 γίνεται (a-b)^2=2 η οποία δεν έχει λύση \mod3.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Pambos — Μαΐου 19, 2012 @ 1:42 μμ

  2. Σωστά

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Μαΐου 24, 2012 @ 12:45 πμ

  3. Ακόμη πιο γενικά η εξίσωση (*) έχει λύση μόνο όταν ο αριθμός $k$ είναι τέλειο τετράγωνο (και σ` αυτό η απόδειξη είναι αρκετά όμορφη) και κατά συνέπεια το τελικά άθροισμα ανήκει στο σύνολο {1,4,7,9}.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από alexandrosgalanakis — Μαΐου 24, 2012 @ 3:07 πμ

  4. Υπάρχει διαφορετική απόδειξη που να λειτουργεί μόνο για το 5;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Pambos — Μαΐου 24, 2012 @ 10:20 πμ

  5. Όχι αυτό ακριβώς είναι… θα ήταν όμως πιο δύσκολο να ρωτάει η άσκηση σε ποιό σύνολο ανήκει το τελικό άθροισμα του αρθμού αυτού… ή ακόμα πιο δύσκολο να ζητάει να αποδειχθεί ότι είναι τέλειο τετράγωνο

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από alexandrosgalanakis — Μαΐου 24, 2012 @ 2:41 μμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Δημιουργήστε ένα δωρεάν ιστότοπο ή ιστολόγιο στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: