Προβλήματα Μαθηματικών

Φεβρουαρίου 28, 2012

Σημεία στο μοναδιαίο τετράγωνο

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 12:28 μμ

Δίνονται N σημεία x_1,\ldots, x_N στο τετράγωνο [0,1]^2 και έστω d_i η απόσταση του x_i από τα υπόλοιπα σημεία. Δείξτε ότι υπάρχει μια σταθερά K, που δεν εξαρτάται από το N ή τα σημεία, τέτοια ώστε

\sum_{i=1}^N d_i^2 \le K.

Advertisements

3 Σχόλια »

  1. Φαντάζομαι ως απόσταση εννοείται την ελάχιστη απόσταση του x_i από τα υπόλοιπα σημεία.
    Η βασική παρατήρηση είναι ότι οι ανοικτοί δίσκοι, D_i, με κέντρο x_i και ακτίνα d_i/2 είναι ξένοι.
    Για να το δείτε αυτό παρατηρήστε ότι d(x_i, x_j) \geq \max(d_i, d_j) \geq \frac{d_i +d_j}{2}.
    Η επόμενη παρατήρηση ε’ιναι ότι η ένωση των ξένων δίσκων περιέχεται στο [-1,2]^2.
    Αυτό γιατί d_i \geq \sqrt{2}, για κάθε i.
    Συνεπώς
    \displaystyle 9 = \mu ([1,2]^2) \geq \mu(\cup_i D_i ) = \sum_i \mu (D_i) = \sum_i (\frac{d_i}{2})^2 \cdot \pi
    και άρα \sum_i d_{i}^{2} \leq \frac{36}{\pi}.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από henk&christos — Μαρτίου 1, 2012 @ 2:53 μμ

  2. Έχω ένα-δυο typos.
    Η σωστή ανισότητα είναι d_i \leq \sqrt{2}
    και έχασα το ένα μείον στο
    \displaystyle 9 = \mu ([-1,2]^2) \geq \mu(\cup_i D_i ) = \sum_i \mu (D_i) = \sum_i (\frac{d_i}{2})^2 \cdot \pi.
    \mu είναι το 2-διάστατο μέτρο Lebesgue.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από henk&christos — Μαρτίου 1, 2012 @ 2:57 μμ

  3. Πολύ σωστά.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Μαρτίου 1, 2012 @ 3:27 μμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Blog στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: