Προβλήματα Μαθηματικών

Ιανουαρίου 30, 2012

Σταθερή συνάρτηση

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 11:02 μμ

Το πρόβλημα αυτό το προτείνει ο Γιώργος Παπαδόπουλος.
Έστω f:\mathbb R\to\mathbb R μια συνάρτηση τέτοια ώστε
\displaystyle{\lim_{h\to0^{+}}\frac{f(x+2h)-f(x+h)}{h}=0}
για κάθε x. Δείξτε ότι η f είναι σταθερή.

Advertisements

4 Σχόλια »

  1. Έχουμε \frac{f(x+2h)-f(x+h) }{h}=\frac{f(x+2h)}{h}-\frac{f(x+h)}{h}=\frac{f(x+2h)}{h}-\frac{f(x+h)+f(x)-f(x)}{h}=\frac{f(x+2h)}{h}-\frac{f(x+h)-f(x)}{h}-\frac{f(x)}{h}=\frac{f(x+2h)-f(x)}{h}-\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=2\frac{f(x+2h)-f(x)}{2h}-\frac{f(x+h)-f(x)}{h} οπότε, \lim_{h \to 0^{+} } 2\frac{f(x+2h)-f(x)}{2h}-\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h \to 0^{+} }2\frac{f(x+2h)-f(x)}{2h}-\lim_{h \to 0^{+} }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=2{f}'(x)-{f}'(x)={f}'(x)=0 επομένως, η f(x) ειναι σταθερή συνάρτηση

    Μια προσπάθεια χώρις μαθηματική αυστηρότητα.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από cloudkyr — Ιανουαρίου 31, 2012 @ 4:43 πμ

  2. Η παραπάνω λύση προϋποθέτει την παραγωγισιμότητα τής συνάρτησης.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Φεβρουαρίου 1, 2012 @ 5:48 μμ

  3. Θα προσπαθήσω να το δείξω με την επιπλέον υπόθεση ότι η f είναι συνεχής συνάρτηση. Η απόδειξη θα χωριστεί σε δύο κομμάτια.

    1) Έστω x_0 τέτοιο ώστε \displaystyle{\lim_{h\to 0^+}\frac{f(x_0+2h)-f(x_0+h)}{h}=0}. Θα δείξουμε ότι f'_+(x_0)=0.
    Έστω \epsilon>0. Υπάρχει \delta>0 τέτοιο ώστε

    \forall\;\; 0<h<\delta,\;\;\;-h\epsilon < f(x_0+2h)-f(x_0+h) < h\epsilon .

    Έστω 0<h< \delta . Ισχύει ότι 0<\frac{h}{2^n}<\delta για κάθε n\in\{0,1,2,\ldots\} άρα \frac{h}{2^n}\epsilon < f(x_0+\frac{h}{2^{n-1}})-f(x_0+\frac{h}{2^n}) < \frac{h}{2^n}\epsilon ,\;\;\; \forall n \in \{0,1,2,\ldots\} .
    Προσθέτοντας κατά μέλη για n=0,1,\ldots,k παίρνουμε την

    -h \epsilon (1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{2^k})< f(x_0+2h)- f(x_0+\frac{h}{2^k})<h \epsilon (1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{2^k})

    Παίρνοντας όριο όταν k \to \infty από την συνέχεια της f συμπεραίνουμε ότι -2h\epsilon \leq f(x_0+2h)-f(x_0) \leq 2h \epsilon . Άρα δείξαμε ότι για
    0<h<\delta,\;\;\; |\frac{f(x_0+2h)-f(x_0)}{2h}| \leq \epsilon οπότε f'_+(x_0)=0 .

    2) Στην http://en.wikipedia.org/wiki/Semi-differentiability στην παράγραφο 1.3 υπάρχει η απόδειξη ότι αν η f είναι συνεχής και δεξιά παραγωγίσιμη με f'_+(x)=0, \;\; \forall x τότε είναι σταθερή.

    Το αποτέλεσμα έπεται από τα 1 και 2.

    Ισχύει το αποτέλεσμα χωρίς την υπόθεση της συνέχειας της f;
    Αν η f είναι παντού σταθερή εκτός από ένα σημείο δεν είναι ένα αντιπαράδειγμα;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Pambos — Απρίλιος 7, 2012 @ 8:25 μμ

  4. Ναι, έχεις δίκιο σχετικά με τη συνέχεια.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Απρίλιος 9, 2012 @ 8:09 πμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Δημιουργήστε ένα δωρεάν ιστότοπο ή ιστολόγιο στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: