Προβλήματα Μαθηματικών

Ιανουαρίου 16, 2012

Συμμετρίες περιοδικών συνόλων

Filed under: Άλυτα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 1:03 πμ

Έστω E σύνολο στο επίπεδο. Ένα διάνυσμα 0\neq v \in {\mathbb R}^2 ονομάζεται περίοδος του E αν E+v = E, αν δηλ. το E απεικονίζεται επί του εαυτού του αν το μεταφέρουμε κατά v. Ένα σύνολο το ονομάζουμε περιοδικό αν έχει δύο γραμμικώς ανεξάρτητες περιόδους.

Ας είναι E ένα σύνολο του επιπέδου που τα στοιχεία του απέχουν ανά δύο τουλάχιστον \epsilon, μια θετική σταθερά (τέτοια σύνολα τα ονομάζουμε καμιά φορά ομοιόμορφα διακριτά). Αν το E είναι περιοδικό δείξτε ότι δε μπορεί να είναι αναλλοίωτο μετά από στροφή κατά 2\pi/5 γύρω από την αρχή των αξόνων.

Advertisements

1 σχόλιο »

  1. Σχετικά με αυτό το πρόβλημα:

    Το πρόβλημα αυτό σχετίζεται με τα λεγόμενα Quasicrystals, για την ανακάλυψη των οποίων, το 1982, δόθηκε το βραβείο Nobel Χημείας το 2011.

    Πρόκειται για «κρυστάλλους» οι οποίοι, παρατηρήθηκε εργαστηριακά, έχουν συμμετρία υπό στροφή 2\pi/5. Το αποτέλεσμα του παραπάνω προβλήματος λέει ότι αυτοί οι κρύσταλλοι δε μπορεί να είναι περιοδικά σύνολα στο χώρο (το αποτέλεσμα ισχύει και σε τρεις διαστάσεις) αν θεωρήσουμε ότι τα άτομα που απαρτίζουν το στερεό είναι τα σημεία του συνόλου E του προβλήματος. Η παρατήρηση αυτή ήταν σε αντίθεση με την μέχρι τότε αντίληψη ότι τα στερεά είναι περιοδικά στο χώρο. Η ανακάλυψη αυτή έχει οδηγήσει στη μελέτη της λεγόμενης απεριοδικής τάξης (aperiodic order), στην οποία, σε γενικές γραμμές, ψάχνουμε για σύνολα E που δεν είναι περιοδικά στο χώρο αλλά που ο μετασχηματισμός Fourier τους παρουσιάζει πολύ μεγάλες τιμές σε ορισμένα σημεία. Αυτό το τελευταίο είναι ο «ορισμός» του τι σημαίνει ότι ένα σύνολο E παρουσιάζει «τάξη».

    Δείτε σχετικά, π.χ., εδώ.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Ιανουαρίου 17, 2012 @ 12:40 πμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Blog στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: