Προβλήματα Μαθηματικών

Νοέμβριος 24, 2011

Γινόμενα πινάκων

Filed under: Λυμένα Προβλήματα,Με υπόδειξη — Mihalis Kolountzakis @ 1:38 πμ

Ας είναι A, B \in {\mathbb C}^{n \times n} δύο n \times n πίνακες με μιγαδικά στοιχεία. Για ένα γινόμενο αυτών των πινάκων της μορφής

A^{a_1}B^{b_1}A^{a_2}B^{b_2}\cdots A^{a_r}B^{b_r}, με a_j, b_j \ge 0

ονομάζουμε την ποσότητα a_1+b_1+a_2+b_2+\cdots+a_r+b_r συνολικό εκθέτη του γινομένου.

Δείξτε ότι υπάρχει ένας φυσικός αριθμός N τέτοιος ώστε κάθε γινόμενο των πινάκων A, B όπως παραπάνω μπορεί να γραφεί σα γραμμικός συνδυασμός τέτοιων γινομένων που το κάθε ένα τους έχει συνολικό εκθέτη το πολύ N.

Advertisements

4 Σχόλια »

  1. Υπόδειξη:
    Οι πίνακες που μπορούν να γραφούν ως γραμμικοί συνδυασμοί γινομένων συνολικού εκθέτη \le N είναι γραμμικός χώρος. Τι γνωρίζουμε για τη διάστασή του;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Δεκέμβριος 1, 2011 @ 1:54 πμ

  2. Υπόδειξη:
    Αν V_N ο γραμμικός χώρος που παράγεται από τα γινόμενα με συνολικό εκθέτη \le N, ποια είναι η μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει η ποσότητα {\rm dim} V_N;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Δεκέμβριος 11, 2011 @ 1:06 πμ

  3. Ας πούμε \Pi τη πρόταση υπάρχει ένας φυσικός αριθμός N τέτοιος ώστε κάθε γινόμενο των πινάκων A,B όπως παραπάνω μπορεί να γραφεί σα γραμμικός συνδυασμός τέτοιων γινομένων που το κάθε ένα τους έχει συνολικό εκθέτη το πολύ N .
    Ισχύει ότι dim(V_n)< \infty \; \forall n \in \mathbb{N} .
    (Αν δούμε τα στοιχεία των V_n σαν πολυωνυμα με μεταβλητές A,B τότε dim(V_n) \leq 3\cdot 2^n ).
    Η πρόταση \Pi είναι σωστή αν και μονον αν dim(\bigcup_{n\in \mathbb{N} }V_n)< \infty .
    Αν η \Pi είναι σωστή τότε V_n=V_N \; \forall n\geq N άρα
    \bigcup_{n\in \mathbb{N} }V_n = \bigcup_{n=1}^N V_n και dim(\bigcup_{n\in \mathbb{N} }V_n)=dim(\bigcup_{n=1}^N V_n)<\infty .
    Αντίστροφα αν dim(\bigcup_{n\in \mathbb{N} }V_n)<\infty τότε θα υπάρχει N\in \mathbb{N} έτσι ώστε
    \bigcup_{n\in \mathbb{N} }V_n = \bigcup_{n=1}^N V_n .
    Άρα V_n = V_N \;\forall n\geq N οπότε η \Pi είναι σωστή.
    Αφού \bigcup_{n\in \mathbb{N} }V_n\subseteq \mathbb{C}^{n \times n} \Rightarrow dim(\bigcup_{n\in \mathbb{N} }V_n)\leq n^2 και το αποτέλεσμα έπεται.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από pamp0s — Δεκέμβριος 19, 2011 @ 8:40 πμ

  4. Πολύ σωστά. Η διάσταση του V_N αναγκαστικά σταθεροποιείται μια και πάντα είναι το πολύ n^2.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Δεκέμβριος 19, 2011 @ 8:47 πμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Blog στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: