Προβλήματα Μαθηματικών

Νοεμβρίου 12, 2011

Έχουν σημασία οι διαστάσεις;

Filed under: Λυμένα Προβλήματα,Με υπόδειξη — Mihalis Kolountzakis @ 9:52 πμ

Είναι οι προσθετικές ομάδες {\mathbb Q} και {\mathbb Q}^2 ισόμορφες ή όχι; Οι {\mathbb R} και {\mathbb R}^2;

Advertisements

9 σχόλια »

  1. (Sygnomi ek ton proteron gia ti proxeiri grafi)

    Esto oti einai isomorfes.Ara tha ypatxei
    isomorfismos omadon f apo to Q sto Q^2.
    Esto oti f(1)=(x,y) me x,y na anoikoun sto Q.(1)
    Anazitoume tis eikones ton stoixeion tis morfis 1/n.Esto (Xn,Yn) oi eikones ton 1/n,diladi f(1/n)=(Xn,Yn) (2).

    Apo (1),(2) tha exoume oti gia kathe n (n oxi 0) tha isxyei f(1/n)=(x/n,y/n)
    Ara telika gia kathe rito q=m/n tha exoume oti f(q)=(m*x/n,m*y/n) (*)

    Anazitoume tora tin proeikona stoixeiou tis morfis (0,a),a oxi 0.
    Diladi anazitoume q: f(q)=(0,a).,
    Apo (*) tha exoume oti (m*x/n,m*y/n)=(0,a)
    Ara m*x=0.To m den mporei na einai 0 dioti an itan 0 tote q=0 atopo afou f(0)=(0,0) kai exoume a oxi 0.
    Ara x=0.Diladi f(1)=(0,y).
    Omoios deixnoume oti y=0.Ara f(1)=(0,0)=f(0) diladi f oxi 1-1 atopo apo ypothesi
    Ara oi Q,Q^2 den einai isomorfes

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από zizizzzzz — Νοεμβρίου 13, 2011 @ 11:08 μμ

  2. Πολύ σωστά.

    Ένας άλλος γρήγορος τρόπος να δει κανείς ότι οι {\mathbb Q} και {\mathbb Q}^2 δεν είναι ισόμορφες είναι να παρατηρήσει ότι στην πρώτη ομάδα οποιαδήποτε δύο μη μηδενικά στοιχεία έχουν κάποια μη μηδενικά ακέραια πολλαπλάσια που ταυτίζονται ενώ στη δεύτερη ομάδα αυτό δεν ισχύει, π.χ. για τα στοιχεία (1, 0) και (0, 1).

    Τι λέτε για τις {\mathbb R} και {\mathbb R}^2;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Νοεμβρίου 14, 2011 @ 11:28 πμ

  3. Υπόδειξη:

    Για τα {\mathbb R}, {\mathbb R}^2:

    Οι ομάδες αυτές έχουν περαιτέρω δομή. Είναι κι οι δύο διανυσματικοί χώροι πάνω από το {\mathbb Q}.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Νοεμβρίου 25, 2011 @ 7:23 μμ

  4. Οπότε είναι και οι δυο διάστασης |\mathbb{Q}| άρα είναι ισόμορφοι.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από henk&christos — Νοεμβρίου 26, 2011 @ 12:35 πμ

  5. Τι εννοείς διάστασης |{\mathbb Q}|;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Νοεμβρίου 26, 2011 @ 12:38 πμ

  6. Ο πληθάριθμος μιας βάσης ισούται με τον πληθάριθμο του \mathbb{Q}.
    Τώρα που το ξανασκέφτομαι όμως νομίζω πως έχω -σιωπηρά- υποθέσει
    ότι κάθε βάση έχει τον ίδιο πληθάριθμο.
    Διαισθητικά μου φαίνεται σωστό.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από henk&christos — Νοεμβρίου 26, 2011 @ 12:53 πμ

  7. Αν μια βάση του {\mathbb R} πάνω από το {\mathbb Q} είχε τον πληθάριθμο του {\mathbb Q} τότε το {\mathbb R} θα ήταν αριθμήσιμο.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Νοεμβρίου 26, 2011 @ 1:28 πμ

  8. Είχα κατά νου την ύπαρξη αριθμησίμου συνόλου πραγματικών που είναι \mathbb{Q}-ανεξάρτητο.
    To \{\log p_n\} , όπου \{p_n\} είναι η ακολουθία των πρώτων.
    Για κάθε n, αν \xi_1 \log p_1 + \cdots \xi_n p_n = 0 , \xi_i \in \mathbb{Q},
    -πολλαπλασιάζοντας με κατάλληλη σταθερά
    μπορούμε να υποθέσουμε ότι \xi_i \in \mathbb{Z}– έχουμε
    p_{1}^{\xi_1} \cdot p_{2}^{\xi_2}\cdots p_{n}^{\xi_n} = 1
    που δίδει ότι \xi_1=\cdots = \xi_n = 0.
    Αυτό βέβαια δε σημαίνει ότι το άνω σύνολο αποτελεί μέγιστο πλήθος γραμμικώς ανεξάρτητων στοιχείων.

    Το τελευταίο σας σχόλιο με ωθεί να πώ πως και οι δύο χώροι έιναι
    διάστασης \mathbb{Q}^{2^{\aleph_0}}, άρα ισόμορφοι.

    Έχετε κάποιο παράδειγμα υπεραριθμήσιμης βάσης ;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από henk&christos — Νοεμβρίου 26, 2011 @ 1:58 πμ

  9. Δε μπορείς να την περιγράψεις τη βάση του {\mathbb R} πάνω από το {\mathbb Q}. Η απόδειξή της ύπαρξής της απαιτεί χρήση του αξιώματος της επιλογής, απ’ όσο ξέρω (χωρίς να είμαι και ειδικός επί του θέματος).

    Η απάντηση είναι ότι όντως τα {\mathbb R}, {\mathbb R}^2 είναι ισομορφικοί διανυσματικοί χώροι (πάνω από το {\mathbb Q}) και άρα και ισομορφικές προσθετικές ομάδες. Ο λόγος είναι ότι έχουν την ίδια διάσταση, έχουν δηλ. δύο βάσεις που είναι ισοπληθικές.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Νοεμβρίου 26, 2011 @ 2:03 πμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Blog στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: