Προβλήματα Μαθηματικών

Νοέμβριος 11, 2011

Στο παρά πέντε

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 1:47 πμ

Σ’ ένα από τα μεγάλα και φημισμένα πανεπιστήμια της Αμερικής υπήρχε κάποτε ένας μεταπτυχιακός φοιτητής που έκανε το διδακτορικό του στον τομέα της Ανάλυσης. Πιο συγκεκριμένα, το θέμα στο οποίο δούλευε ήταν μια γενίκευση των συναρτήσεων Lipschitz.

Μια συνάρτηση f ορισμένη πάνω σ’ ένα διάστημα I λέγεται Lipschitz αν υπάρχει μια σταθερά K τέτοια ώστε

|f(x)-f(y)| \le K |x-y|, για κάθε x,y \in I.

Π.χ. αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη παντού και |f'(x)| \le K για κάθε x, τότε είναι Lipschitz, ως απλή εφαρμογή του Θεωρήματος Μέσης Τιμής.

Αν, για κάποιο a\le 1, ισχύει η ανισότητα

|f(x)-f(y)| \le K |x-y|^a, για κάθε x,y \in I,

τότε η συνάρτηση f λέγεται ότι είναι τύπου Lipschitz(a). Π.χ. η συνάρτηση f(x)=\sqrt{|x|} είναι Lipschitz(1/2) στο διάστημα [0,1], όπως μπορεί κανείς εύκολα να δείξει.

Ο φοιτητής μας λοιπόν είχε αποφασίσει να μελετήσει και συναρτήσεις τύπου Lipschitz(a) αλλά για a>1, μια κλάση συναρτήσεων που δεν είχε μελετηθεί ως τότε, σε αντίθεση με την περίπτωση a\le 1. Υποθέτοντας λοιπόν ότι μια συνάρτηση f είχε αυτή την ιδιότητα απεδείκνυε μετά ένα σωρό ιδιότητες για την f, ιδιότητες αρκετά ισχυρές που καθιστούσαν έτσι αυτή την κλάση συναρτήσεων πολύ ενδιαφέρουσα.

Όμως, μερικές μέρες πριν παρουσιάσει το διδακτορικό του, και μετά από κάποιες συζητήσεις που είχε (αυτός κι ο καθηγητής του) με ένα νεοαφιχθέντα καθηγητή του Τμήματός του, το διδακτορικό του αποσύρθηκε και η παρουσίασή του δεν έγινε ποτέ.

Τι είχε συμβεί;

Advertisements

4 Σχόλια »

  1. Μα αν a \ge 1 τότε η f στο διάστημα [0,1] δεν είναι η σταθερή;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Christian — Νοέμβριος 11, 2011 @ 12:38 μμ

  2. Christian:

    Όντως, μια τέτοια δραματική εξέλιξη θα εξηγούσε αυτή την απότομη αλλαγή πλεύσης χωρίς αυτό να σημαίνει ότι η δουλειά που είχε κάνει ο φοιτητής μέχρι τότε είχε το παραμικρό λάθος.

    Αλλά γιατί ισχύει κάτι τέτοιο (για a>1);

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Νοέμβριος 12, 2011 @ 9:37 πμ

  3. Νομίζω ότι φαίνεται αν σχηματίσουμε το όριο της παραγώγου και το φράξουμε από κάτι της μορφής K|x-y|^{a-1} , όπου πλέον a-1>0.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από nixmtp — Νοέμβριος 12, 2011 @ 3:49 μμ

  4. Πολύ σωστά.

    Έχουμε \frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|} \le K|x-y|^{a-1} που τείνει στο 0 για y\to x, άρα για κάθε x η συνάρτησή μας είναι παραγωγίσιμη με παράγωγο 0, άρα είναι σταθερή.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Νοέμβριος 12, 2011 @ 10:38 μμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Blog στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: