Προβλήματα Μαθηματικών

Ιουλίου 19, 2011

Υποσύνολα φυσικών

Filed under: Λυμένα Προβλήματα,Με επιπλέον ερωτήματα — Michalis Loulakis @ 11:26 μμ

Το πρόβλημα αυτό το έμαθα από τον Δημήτρη Απατσίδη.

Δείξτε ότι υπάρχει μια μη αριθμήσιμη οικογένεια υποσυνόλων του \mathbb{N} τέτοια ώστε η τομή οποιωνδήποτε δύο εξ’ αυτών να είναι πεπερασμένο σύνολο.

Advertisements

4 Σχόλια »

  1. Για κάθε x=0.x_1x_2x_3\cdots \in (0,1)\cap (\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q})
    θεωρούμε το σύνολο φυσικών A_x := \{x_1, x_1x_2, x_1x_2x_3,\ldots \}.
    Η οικογένεια \{A_x\} είναι υπεραριθμήσιμη.
    Αν x \neq y έστω i ο πρώτος δείκτης για τον οποίον x_i \neq y_i.
    Τότε A_x  \cap A_y = \{x_1, x_1x_2, x_1x_2x_3, \ldots x_1x_2\ldots x_{i-1}  \}.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από henk&christos — Αύγουστος 9, 2011 @ 6:14 μμ

  2. Η ιδέα σου είναι στη σωστή κατεύθυνση, αλλά χρειάζεται λίγο προσοχή- ο τελευταίος ισχυρισμός δεν είναι σωστός. Π.χ. για όλα τα x για τα οποία x_1=1 και x_i\in\{1,2\} (που αποτελούν ένα υπεραριθμήσιμο σύνολο) έχουμε A_x=\{1,2,4,8,16,\cdots\}.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Michalis Loulakis — Αύγουστος 9, 2011 @ 7:50 μμ

  3. Δεν ειμαι σιγουρος αν καταλαβαινω τι εννοειτε.
    Αν π.χ. x=0.121212\ldots τοτε A_x = \{1, 12, 121, 1212, 12121, 121212, \ldots \}.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από henk&christos — Αύγουστος 9, 2011 @ 8:18 μμ

  4. Η λύση σου είναι σωστή βέβαια. Ένας ωραίος γραφικός τρόπος να την περιγράψει κανείς είναι να αριθμήσει τους κόμβους ενός δυαδικού δέντρου ώστε οι κόμβοι που απέχουν k από την ρίζα να αντιστοιχούν σους φυσικούς 2^k,\ldots,2^{k+1}-1 και να πάρει για κάθε κλαδί του δέντρου τους φυσικούς που κάθονται σε αυτό. Τα κλαδιά έχουν πληθάριθμο 2^\mathbb{N} και ανά δύο έχουν πεπερασμένο κοινό κομμάτι. Αυτό υποθέτοντας ότι τα x_i είναι ψηφία στο δυαδικό ανάπτυγμα- αντίστοιχα θα μπορούσες να παραστήσεις γραφικά τη λύση σε ένα δεκαδικό δέντρο.

    Ο λόγος που δεν κατάλαβα την λύση σου είναι γιατί νόμιζα ότι πολλαπλασίαζες τα x_i– μάλλον με πείραξε η ζέστη! Σχετικά με αυτό όμως έχω ένα

    Νέο Ερώτημα
    Δείξτε ότι

    Αν 0.x_1x_2\ldots είναι το δυαδικό ανάπτυγμα του x και πάρουμε
    A_x=\{(2+x_1),(2+x_1)\cdot(2+x_2),\ldots,\prod_{i=1}^{n}(2+x_i),\ldots\},
    τότε για Legesgue-σχεδόν κάθε (x,y) έχουμε ότι το A_x\cap A_y είναι άπειρο.

    Αν όμως πάρουμε το ανάπτυγμα του x στο τετραδικό σύστημα,
    ορίσουμε f(0)=2,f(1)=3,f(2)=5,f(3)=7 και
    A_x=\{f(x_1),f(x_1)f(x_2),\ldots,\prod_{i=1}^n f(x_i),\ldots\},
    τότε για Legesgue-σχεδόν κάθε (x,y) έχουμε ότι το A_x\cap A_y είναι πεπερασμένο.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Michalis Loulakis — Αύγουστος 9, 2011 @ 9:41 μμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Δημιουργήστε ένα δωρεάν ιστότοπο ή ιστολόγιο στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: