Προβλήματα Μαθηματικών

Ιουνίου 24, 2011

Καμπύλες με μήκος

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 12:11 μμ

Δείξτε ότι αν C είναι μια καμπύλη με πεπερασμένο μήκος, τότε σχεδόν κάθε ευθεία τέμνει την C σε πεπερασμένο (το πολύ) σύνολο σημείων. «Σχεδόν κάθε ευθεία» σημαίνει «σχεδόν για κάθε \theta\in[0,2\pi) και σχεδόν για κάθε t\in(0,+\infty), η ευθεία που είναι κάθετη στην κατεύθυνση \theta και είναι σε απόσταση t από την αρχή των αξόνων».

Advertisements

2 Σχόλια »

  1. Στο σχόλιο 7 του προβλήματος »Κυρτά Πολύγωνα» αναφέρεται το θεώρημα των
    Cauchy-Crofton από την Ολοκληρωτική Γεωμετρία το οποίο αντιγράφω..

    Αν \ell(\gamma) είναι το μήκος της καμπύλης και
    n_{\gamma}(\theta, t) είναι το πόσες φορές ‘κόβει’ \gamma την ευθεία που είναι
    σε απόσταση t από την αρχή των αξόνων και είναι κάθετη στην κατεύθηνση θ, 0\leq \theta \leq 2\pi, τότε
    \displaystyle \ell(\gamma) = \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\infty}  n_{\gamma}(\theta, t) \; dt d\theta .

    Υποθέστε ότι το συμπέρασμα δεν ισχύει. Τότε είτε για ένα σύνολο από θ, 0\leq \theta \leq 2\pi, θετικού μέτρου
    είτε για ένα σύνολο από t, 0<t<\infty η πόσότητα n_{\gamma}(\theta, t) είναι άπειρη.
    Και στις δύο περιπτώσεις το ολοκλήρωμα απειρίζεται και άρα και το \ell(\gamma).

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από henk&christos — Φεβρουαρίου 15, 2012 @ 3:04 μμ

  2. Σωστά.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Φεβρουαρίου 15, 2012 @ 3:28 μμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Δημιουργήστε ένα δωρεάν ιστότοπο ή ιστολόγιο στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: