Προβλήματα Μαθηματικών

Ιουνίου 16, 2011

2011

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 8:03 μμ

Δείξτε ότι το δεκαδικό ανάπτυγμα κάποιας δύναμης τού 2 ξεκινάει με τα ψηφία 2011.

Advertisements

3 Σχόλια »

  1. Το 2011 δεν έχει κάτι μαγικό και μπορεί να αντικατασταθεί από την
    αγαπημένη σας αράδα αριθμών x_1 x_2 \cdots x_m .
    Θυμηθείτε ότι, αν \mathbb{T} := \mathbb{R}/\mathbb{Z} = \{ x + \mathbb{Z} : x\in \mathbb{R} \}
    είναι ο μοναδιαίος κύκλος και R_{\alpha} : \mathbb{T} \rightarrow \mathbb{T} είναι η απεικόνιση που ορίζεται ως
    R_{\alpha}(t) = t + \alpha (mod 1), η τροχιά \{ R_{\alpha}^{n}(x) \} οποιουδήποτε x \in \mathbb{T}
    είναι πυκνή, αν ο \alpha είναι άρρητος.

    Παρατηρείστε ότι το 2^n ξεκινάει με τα ψηφία N = x_1 x_2 \cdots x_m
    αν και μόνον αν υπάρχει k τέτοιο ώστε N \cdot 10^k \leq 2^n < (N+1)\cdot 10^k
    και το πρόβλημα ανάγεται στην εύρεση τέτοιου k, το οποίο ψάχνουμε ανάμεσα στα
    πολλαπλάσια του m. Δηλαδή ενδιαφερόμαστε για την ύπαρξη κάποιου \ell ώστε
    N \cdot 10^{\ell m} \leq 2^n < (N+1)\cdot 10^{\ell m} .
    Τέτοια n , \ell υπάρχουν αν και μόνον αν
    \log_{10^m} N + \ell \leq n \cdot \log_{10^m} 2 < \log_{10^m} (N+1) + \ell ή
    \log_{10^m} N \leq R_{\log_{10^m}2}^n(0) < \log_{10^m} (N+1) (mod 1).
    Το ζητούμενο έπεται από το γεγονός ότι \log_{10^m} 2 \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} .

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από henk&christos — Ιουνίου 22, 2011 @ 9:41 μμ

  2. Νομίζω οτι είναι πρέπον να πω πως ‘έκλεψα’ το άνω επιχείρημα από το (δύσκολο !) βιβλίο
    Εργοδικής θεωρίας των M. Einsiedler & T. Ward στο οποίο εμφανίζεται ως άσκηση.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από henk&christos — Ιουνίου 22, 2011 @ 9:52 μμ

  3. Σωστά.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Ιουνίου 22, 2011 @ 10:07 μμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Blog στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: