Προβλήματα Μαθηματικών

Απρίλιος 11, 2011

Τριγωνομετρικό ολοκλήρωμα

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 12:58 πμ

Υπάρχει το \displaystyle \lim_{n\to+\infty}\int_0^{R}\sin(x^n)\, dx, όπου R>0 ;

Advertisements

9 Σχόλια »

  1. Δε θα καθήσω άλλο ξύπνιος, έχουμε και δουλειά πλέον το πρωί. Αν R<1 τότε όλα πάνε κατ' ευχήν… Μετά με πιάνει ένας ίλιγγος. Θα το βγάλουμε όμως, που θα πάει; 🙂

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από nefelh — Απρίλιος 11, 2011 @ 3:36 πμ

  2. Ας ειναι R>1 .Τοτε I_1:=  \int^{R}_{1}\sin(x^n) dx =  \int^{R^n}_{1}\frac{\sin(x)x^{\frac{1}{n}-1}}{n} dx
    Εστω f_n(x)=\frac{\sin(x)x^{\frac{1}{n}-1}}{n}X_{[1,R^n]} . Προφανως καθε συναρτηση της ακολουθιας ειναι στον L^1 αφου |I_1|\leq R-1 . Επισης f_n\to 0 σημειακα και για n\geq2 |f_n(x)| \leq \frac{\sin x}{x^{1/2}}X_{[1,+\infty)}:=g
    Για τη g τωρα εχουμε \int^{}_{\mathbb R}g=\cos1 - 1/2 \int^{+\infty}_{1}\cos(x)x^{-\frac{3}{2}} dx με μια παραγοντικη ολοκληρωση και αρα | \int^{}_{\mathbb R}g|\leq \cos1 +1/2\int^{+\infty}_{1}x^{-\frac{3}{2}} dx=\cos1+1 . Δηλ. η g ειναι στον L^1 . Οποτε απο κυριαρχουμενη συγλιση θα ειναι \int^{R}_{1}\sin(x^n) dx \to 0 οταν n\to+\infty .

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από nixmtp — Απρίλιος 12, 2011 @ 12:43 πμ

  3. Ακυρο το σχόλιο 2, βιάστηκα και εκανα λαθος στο φράξιμο των f_n !

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από nixmtp — Απρίλιος 12, 2011 @ 12:47 πμ

  4. Γιατί να μην κάνεις παραγοντική ολοκλήρωση απ’ ευθείας στο I_1

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Απρίλιος 12, 2011 @ 9:58 μμ

  5. \displaystyle\int^{R}_{1}\sin(x^n) dx = \int^{R^n}_{1}\frac{\sin(x)x^{\frac{1}{n}-1}}{n} dx = -\int^{R^n}_{1}\frac{x^{\frac{1}{n}-1}}{n}(\cos x)' dx
    \displaystyle=\frac{\cos1}{n}-\frac{\cos(R^n)R^{1-n}}{n}+\frac{1-n}{n^2}\int^{R^n}_{1}\cos(x)x^{\frac{1}{n}-2} dx .

    Οποτε θα ειναι

    \displaystyle |I_1| \leq \frac{\cos1}{n}+\frac{R^{1-n}}{n}+\frac{n-1}{n^2}\int^{R^n}_{1}|\cos x|x^{\frac{1}{n}-2} dx
    \displaystyle \leq \frac{\cos1}{n}+\frac{1}{nR^{n-1}}+\frac{1}{n}[1-R^{1-n}]\to 0

    καθώς n\to +\infty .

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από nixmtp — Απρίλιος 12, 2011 @ 11:12 μμ

  6. Σωστά.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Απρίλιος 12, 2011 @ 11:25 μμ

  7. Μια ερώτηση μια που είμαι άσχετος από latex.Κάνω κάτι εγώ λάθος στον κώδικα και εμφανίζει τα «formula does not parse», ή είναι κάτι άλλο ?

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από nixmtp — Απρίλιος 12, 2011 @ 11:37 μμ

  8. Είχες μερικά μικρά λαθάκια τα οποία όμως ήταν καταστροφικά. Για παράδειγμα είχες γράψει \sinx αντί \sin x (με κενό).
    Επίσης κάπου είχες \[ ανάμεσα σε $ $, το οποίο δεν επιτρέπεται.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Απρίλιος 13, 2011 @ 9:30 πμ

  9. Η αλήθεια είναι ότι έχω μπερδευτεί με τις διαφορετικές version της latex από forum σε forum.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από nixmtp — Απρίλιος 13, 2011 @ 2:42 μμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Blog στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: