Προβλήματα Μαθηματικών

Απρίλιος 8, 2011

Μέσος όρος

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 5:29 μμ

Μπορείτε να γράψετε το άθροισμα \displaystyle\sum_{k=1}^n\frac{(-1)^k}k σαν τον μέσο όρο των όρων μιας συγκλίνουσας ακολουθίας; Δηλαδή υπάρχει συγκλίνουσα a_n τέτοια ώστε

\displaystyle\sum_{k=1}^n\frac{(-1)^k}k=\frac{a_1+a_2+\dots+a_n}n;

Advertisements

2 Σχόλια »

  1. Έστω συγκλίνουσα ακολουθία a_n. Ορίζουμε επαγωγικά ακολουθία b_k ως εξής : b_1=1 και \sum_{k=1}^n b_k=s_n/n όπου s_n:=a_1+a_2+...a_n . Η ταυτότητα (n-1)b_n=a_n-s_n/n εγγυάται ότι η ακολουθία (n-1)b_n έχει όριο το 0 και δείχνεται θεωρώντας τη διαφορά b_n=s_n/n-s_{n-1}/(n-1). Εφαρμόζοντας αυτή την πρόταση για b_k=(-1)^k/k καταλήγουμε σε άτοπο θεωρώντας πραγματική την ύπαρξη της ζητούμενης ακολουθίας του αρχικού ερωτήματος.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από antuoa — Απρίλιος 8, 2011 @ 11:54 μμ

  2. Σωστά.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Απρίλιος 9, 2011 @ 2:02 πμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Δημιουργήστε ένα δωρεάν ιστότοπο ή ιστολόγιο στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: