Προβλήματα Μαθηματικών

Απρίλιος 8, 2011

Άπειρα πολλαπλάσια ΙΙ

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 12:10 πμ

Το πρόβλημα «άπειρα πολλαπλάσια» λέει ότι αν το G είναι ένα μη φραγμένο ανοιχτό σύνολο θετικών αριθμών τότε υπάρχει x τέτοιο ώστε άπειρα πολλαπλάσιά του ανήκουν στο G. Δείξτε ότι το σύνολο αυτών των x είναι πυκνό στο [0,+\infty).

Advertisements

6 Σχόλια »

  1. Έστω [x_1,y_1] \subseteq \mathbb R_+ και x_2  \in G : x_2(1/x_1 - 1/y_1 )>1 . Τότε υπάρχει n_1 \in \mathbb N : x_2/y_1<n_1<x_2/x_1 , δηλ. n_1x_1<x_21 , έχουμε οτι υπάρχει n_2 \in \mathbb N με x_3n_1/y_2<n_2<x_3n_1/x_2 . Οπότε x_2n_2/n_1<x_31 με [x_{k+1}/n_k, y_{k+1}/n_k] \subseteq [x_k/n_{k-1},y_k/n_{k-1}] . Διαλέγοντας τα y_k κάθε φορά ώστε \lim(y_k-x_k) = 0 , από κιβωτισμό έχουμε οτι υπάρχει a \in [x_1,y_1] με an_k \in G, k \in \mathbb N . Επιπλέον η επιλογή των x_k ώστε x_{k+1} > y_k εγγυάται οτι n_k > n_{k-1} , k>1 . Από την κατασκευή τώρα είναι φανερό ότι το σύνολο αυτών των a είναι πυκνό στο [0,+\infty).

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από nixmtp — Απρίλιος 10, 2011 @ 3:58 μμ

  2. Πώς ορίζονται τα y_2,y_3,\dots και τα x_3,x_4,\dots ;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Απρίλιος 10, 2011 @ 7:29 μμ

  3. Ναι, μου έφαγε 2 σειρές.Συνεχίζει από την 2η πρόταση ως εξής :
    Τότε υπάρχει n_1 \in \mathbb N : x_2/y_1<n_1<x_2/x_1 , δηλ. n_1x_1<x_21 , έχουμε οτι υπάρχει n_2 \in \mathbb N με x_3n_1/y_2<n_2<x_3n_1/x_2 . Οπότε x_2n_2/n_1<x_31 με [x_{k+1}/n_k, y_{k+1}/n_k] \subseteq [x_k/n_{k-1},y_k/n_{k-1}] .

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από nixmtp — Απρίλιος 10, 2011 @ 8:13 μμ

  4. Τα y_2,y_3,\dots και τα x_3,x_4,\dots εξακολουθούν να μην ορίζονται.
    Για να γράψεις σε latex, γράφεις $ μετά κολλητά τη λέξη latex μετά κενό μετά τον κώδικα και τέλος $.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Απρίλιος 10, 2011 @ 8:20 μμ

  5. Πάλι δεν τα εμφανίζει, κάνω άλλη μια προσπάθεια.
    Εχουμε οτι το χ2 ειναι μεταξυ των n1x1 και n1y1 και αφου το G ειναι ανοικτο μπορουμε να βρουμε y2 στο G με [χ2,y2] να ειναι μεσα στο [n1x1,n1y1] και αρα το [x2/n1,y2/n1] μεσα στο [x1,y1].Ομοια διαλεγουμε x3 στο G με x3(n1/x2 – n1/y2) > 1 και καταληγουμε με καταλληλη επιλογη y3 του G , στην υπαρξη φυσικου n2 με [x3/n2,y3/n2] υποσυνολο του [x2/n1, y2/n1].Έτσι επαγωγικα κατασκευαζουμε την ακολουθία που φαίνεται στην 2η γραμμή του σχολίου 1.Από κει και πέρα τα ίδια.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από nixmtp — Απρίλιος 10, 2011 @ 8:20 μμ

  6. Σωστά. Εναλλακτικά, το ζητούμενο σύνολο είναι

    \displaystyle\bigcap_{n=1}^\infty\bigcup_{k=n}^\infty\frac1kG

    το οποίο είναι πυκνό ως αριθμήσιμη τομή ανοιχτών και πυκνών υποσυνόλων τού [0,+\infty).

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Απρίλιος 10, 2011 @ 8:57 μμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Blog στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: