Προβλήματα Μαθηματικών

Μαρτίου 30, 2011

Πολλαπλασιασμοί και διαιρέσεις χωρίς computer

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 12:29 πμ

Μπορείτε να δείξετε ότι

\displaystyle\frac{1\cdot3\cdot5\cdot7\cdots97\cdot99}{2\cdot4\cdot6\cdot8\cdots98\cdot100}<0.2

χωρίς να χρησιμοποιήσετε computer;

Advertisements

5 Σχόλια »

  1. Αν α είναι η ποσότητα στα αριστερά, τότε

    \alpha^2 < \frac{1\cdot 3\cdot 5\cdots 99}{2\cdot 4 \cdot 6 \cdots 100} \frac{2\cdot 4 \cdot 6 \cdots 100}{3\cdot 5 \cdot 7 \cdots 101} = \frac{1}{101} < \frac{1}{100} .

    Άρα α < 0.1

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από henk&christos — Μαρτίου 30, 2011 @ 12:09 μμ

  2. Στον παρονομαστή τού \alpha^2 έχεις

    (2\cdot4\cdot6\cdots100)^2.

    Αυτό είναι μικρότερο και όχι μεγαλύτερο από

    2\cdot4\cdot6\cdots100\cdot3\cdot5\cdot7\cdots101.

    Επομένως η πρώτη ανισότητα δεν είναι σωστά αιτιολογημένη, εκτός κι’ αν εννοείς κάτι άλλο.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Μαρτίου 30, 2011 @ 12:49 μμ

  3. Χρησιμοποιούμε την ανισότητα
    \frac{1\cdot 3 \cdot 5 \cdots 99}{2\cdot 4 \cdot 6 \cdots 100} < \frac{2\cdot 4 \cdot 6 \cdots 100}{3 \cdot 5 \cdot 7 \cdots 101}.
    Αυτό είναι σωστό διότι \frac{i}{i+1} < \frac{i+1}{i+2} .

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από henk&christos — Μαρτίου 30, 2011 @ 2:16 μμ

  4. Ίσως δεν έκανα σαφές το επιχείρημα.
    Το ξαναγράφω από την αρχή.

    Αν β είναι η ποσότητα στο δεξί μέλος της 2ης γραμμής του 3ου σχολίου,
    από την ανισότητα \frac{i}{i+1} < \frac{i+1}{i+2}, i=1,2,\ldots , 99 έχουμε ότι
    \alpha < \beta . Άρα \alpha^2 < \alpha \cdot \beta = \frac{1}{101} < \frac{1}{100} .

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από henk&christos — Μαρτίου 30, 2011 @ 4:43 μμ

  5. Τώρα εντάξει.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Μαρτίου 30, 2011 @ 4:53 μμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Δημιουργήστε ένα δωρεάν ιστότοπο ή ιστολόγιο στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: