Προβλήματα Μαθηματικών

Μαρτίου 27, 2011

Αναδρομική ακολουθία

Το πρόβλημα αυτό το έμαθα από τον Γιώργο Παπαδόπουλο.

Θεωρούμε την αναδρομική ακολουθία x_1=0, x_{n+1}=x_n+e^{-x_n}.
Βρείτε την τάξη μεγέθους τής x_n καθώς n\to+\infty.

Advertisements

10 Σχόλια »

  1. Προφανως εχουμε οτι η x_n ειναι γνησίως αυξουσα και συγλινει στο απειρο.Επισης απο το ΘΜΤ μπορουμε να παρουμε οτι \frac{e^{x_{n+1}}-e^{x_n}}{x_{n+1}-x_n}=e^{y_n} , y_n \in (x_n,x_{n+1}) .Άρα 1 \leq e^{x_{n+1}}-e^{x_n} \leq \frac{e^{x_{n+1}}}{e^{x_n}} .Απο την αναδρομική σχέση μπορούμε να πάρουμε \frac{e^{x_{n+1}}}{e^{x_n}} = e^{e^{-x_n}} \to 1 .Οπότε e^{x_{n+1}}-e^{x_n} \to 1 .Τώρα με διπλή χρήση του θεωρήματος Stolz έχουμε \displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{x_n}{logn}= \displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{x_{n+1}-x_n}{log(1+1/n)}= \displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{n}{e^{x_n}}= \displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{e^{x_{n+1}}-e^{x_n}}=1 .

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από nixmtp — Απρίλιος 13, 2011 @ 3:06 μμ

  2. Σωστά.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Απρίλιος 13, 2011 @ 9:29 μμ

  3. Νέο Ερώτημα

    Αυτές τις μέρες συνάντησα αυτό το πρόβλημα προσπαθώντας να λύσω ένα πρόβλημα βέλτιστης στάσης.
    Μπορεί κανείς να δείξει κάτι ακόμα ισχυρότερο: ότι x_n-\ln n\to 0. Μπορείτε να δείτε πώς?

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Michalis Loulakis — Ιουλίου 28, 2011 @ 11:01 πμ

  4. Νομίζω φαίνεται από τη σχέση \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{n}{e^{x_n}}=1 .

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από nixmtp — Αύγουστος 1, 2011 @ 10:44 πμ

  5. Φυσικά- συγγνώμη που δεν διάβασα προσεκτικά την λύση.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Michalis Loulakis — Αύγουστος 1, 2011 @ 12:08 μμ

  6. Εσείς πως το δείξατε ?!

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από nixmtp — Αύγουστος 1, 2011 @ 2:21 μμ

  7. Όχι τόσο κομψά- μπορεί να δει κανείς επαγωγικά ότι x_n\ge \ln n και από αυτό ότι η x_n-\ln(n-1) είναι φθίνουσα και φραγμένη κάτω από το μηδέν. Το ότι το όριο δεν μπορεί να είναι αυστηρά θετικό φαίνεται εύκολα με απαγωγή σε άτοπο.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Michalis Loulakis — Αύγουστος 1, 2011 @ 4:01 μμ

  8. Μπορούμε να βρούμε άραγε κάτι καλύτερο από το x_{n}=\ln n+o(1) ;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Anastasios Kotronis — Νοέμβριος 27, 2011 @ 7:27 μμ

  9. Κάτι καλύτερο θα ήταν να βρούμε μια ακολουθία a_n\to\infty και μια σταθερά c>0 τέτοιες ώστε a_n\big(x_n-\ln n\big)\to c, να βρούμε δηλαδή πόσο πρέπει να μεγενθύνουμε τη μηδενική ακολουθία x_n-\ln n ώστε να δούμε ένα μη τετριμμένο όριο. Αυτό θα μας δώσει τον επόμενο σημαντικότερο όρο της x_n, αφού x_n=\ln n+\frac{c}{a_n}+o(1/a_n).

    Νέο ερώτημα
    Μπορείτε να βρείτε τέτοιες \{a_n\} και c>0?

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Michalis Loulakis — Νοέμβριος 29, 2011 @ 12:27 πμ

  10. Ένας κάπως γενικός τρόπος να χειριστεί κανείς τέτοιου είδους καταστάσεις σκιαγραφείται στο άρθρο του Moubinool Omarjee εδώ

    http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=722&t=398470

    Εκτός των άλλων η μέθοδος του παραπάνω άρθρου αναδεικνύει και τη σύνδεση των εξισώσεων διαφορών με τις διαφορικές εξισώσεις.

    Προτεινόμενο βιβλίο: «Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers (asymptotic methods and perturbation theory)» των C.M. Bender και S.A. Orszag.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Anastasios Kotronis — Δεκέμβριος 4, 2011 @ 7:25 μμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Blog στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: