Προβλήματα Μαθηματικών

Μαρτίου 10, 2011

Μηδέν ή ένα

Filed under: Άλυτα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 8:24 μμ

Το πρόβλημα αυτό το πρότεινε ο Χρήστος Πελεκης.

Έστω ότι \mu είναι ένα μέτρο πιθανότητας σε κάποιο σύνολο X και T:X\to X μια μετρήσιμη συνάρτηση η οποία διατηρεί το μέτρο, με την έννοια ότι \mu(T^{-1}A)=\mu(A) για κάθε A. Υποθέτουμε ότι για κάθε A,B υπάρχει ένα n_0 τέτοιο ώστε \mu(A\cap T^{-n}B)=\mu(A)\mu(B) για κάθε n\geq n_0. Δηλαδή, κάθε δυο ενδεχόμενα μπορούν να γίνουν ανεξάρτητα. Δείξτε ότι για κάθε A, είτε \mu(A)=0 ή \mu(A)=1.

Advertisements

3 Σχόλια »

  1. Χρησιμοποιώντας επαγωγή μπορούμε να δείξουμε ότι για κάθε φυσικό αριθμό n, έχουμε την ισότητα \mu(T^{-n}A)=\mu(A) για κάθε μετρήσιμο σύνολο A. Ας πάρουμε τώρα ένα τέτοιο σύνολο A. Από υπόθεση υπάρχει φυσικός αριθμός n με την ιδιότητα \mu(A\cap T^{-n}A)=\mu^{2} A. Όμως, \mu(A)=\mu(A\cap T^{-n}A)+\mu(A\setminus T^{-n}A)=\mu^{2}(A)+\mu(A\setminus T^{-n}A). Αλλά αφού το \mu είναι μέτρο πιθανότητας παίρνει τιμές μεταξύ του μηδενός και του ένα. Δηλαδή \mu(A)\leq\mu^{2}(A)\leq\mu(A). Οπότε πρέπει να είναι ίσα, \mu(A)=\mu^{2}(A). Ισοδύναμα, \mu(A)=0 ή \mu(A)=1.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από nikos3223 — Μαρτίου 20, 2012 @ 7:44 πμ

  2. Δε δουλεύει η παραπάνω αιτιολόγηση. Κάτι λείπει.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από nikos3223 — Μαρτίου 20, 2012 @ 6:11 μμ

  3. Υπόδειξη: Χρησιμοποιήστε το θεώρημα κατηγορίας του Baire και δείτε, αν θέλετε, το παρακάτω site..

    http://math.stackexchange.com/questions/207477/symmetric-difference-as-a-metric

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από henk&christos — Νοέμβριος 10, 2013 @ 12:26 πμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Δημιουργήστε ένα δωρεάν ιστότοπο ή ιστολόγιο στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: