Προβλήματα Μαθηματικών

Φεβρουαρίου 27, 2011

Σύνολα ακεραίων με διαφορετικά αθροίσματα

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 6:40 μμ

Ένα σύνολο φυσικών αριθμών A ονομάζεται σύνολο τύπου B_2 αν όλα τα αθροίσματα

a+b, με a, b \in A, a\le b

είναι διαφορετικά. Για παράδειγμα το σύνολο των δυνάμεων του 2 είναι τέτοιο σύνολο.

Έστω n φυσικός αριθμός. Υπάρχει ή όχι σύνολο A τύπου B_2 που το σύνολο των αθροισμάτων του

A+A = \{ a+b:\ a,b \in A\}

να περιέχει n διαδοχικούς ακεραίους;

Advertisements

2 Σχόλια »

  1. Η απάντηση είναι ότι υπάρχει.
    Το σύνολο T=\{10^0,10^1,10^2,\ldots\} είναι τύπου B_2.
    Έστω n\in \mathbb{N} και s\in \mathbb{N} έτσι ώστε 10^s\ge 2n. Έστω a,b\in \mathbb{N} με b\ge 2a\ge 10^{s+n}. Ορίζουμε B=\{b+10^{s+1},b+10^{s+2},b+10^{s+3},\ldots,b+10^{s+n}\}\equiv \{b_1,b_2,b_3,\ldots,b_n\} και A=\{a-10^{s+1},a-10^{s+2}+1,a-10^{s+3}+2,\ldots,a-10^{s+n}+(n-1)\} \equiv \{a_1,a_2,a_3,\ldots,a_n\} .
    Οι a_1+b_1,a_2+b_2,\ldots,a_n+b_n\} είναι n διαδοχικοί αριθμοί. Μένει να δείξουμε ότι το σύνολο A\cup B είναι τύπου B_2. Επειδή b\ge 2a και το B είναι τύπου B_2(αφού B\subset T) διακρίνουμε 2 περιπτώσεις:
    (Έστω i,j,k,l\in \{1,2,\ldots,n\})
    1) (Το A είναι σύνολο τύπου B_2) Αν a-10^{s+i}+(i-1)+a-10^{s+j}+(j-1) = a-10^{s+k}+(k-1)+a-10^{s+l}+(l-1)\Rightarrow 10^{s+i}+10^{s+j}-(i+j)=10^{s+k}+10^{s+l}-(K+l).
    Η τελευταία ισότητα mod10^s, και επειδή 10^s\ge 2n γίνεται i+j=k+l άρα 10^{s+i}+10^{s+j}=10^{s+k}+10^{s+l}.
    2) Αν a-10^{s+i}+(i-1)+b+10^{s+j} = a-10^{s+k}+(k-1)+b+10^{s+l}\Rightarrow 10^{s+j}+10^{s+k}+i=10^{s+l}+10^{s+i}+k.
    Η τελευταία ισότητα mod10^s, και επειδή 10^s\ge n γίνεται i=k άρα 10^{s+j}+10^{s+k}=10^{s+l}+10^{s+i}(Αν j=i\Rightarrow i=j=k=l).
    Άρα επειδή το B είναι τύπου B_2 έπεται ότι το A\cup B είναι τύπου B_2.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από pamp0s — Μαρτίου 21, 2011 @ 1:20 πμ

  2. Πολύ σωστά.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Μαρτίου 21, 2011 @ 1:47 πμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Δημιουργήστε ένα δωρεάν ιστότοπο ή ιστολόγιο στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: