Προβλήματα Μαθηματικών

Φεβρουαρίου 5, 2011

Ξένη ένωση

Το πρόβλημα αυτό σχετίζεται με τα σχόλια (8) και (9) τού προηγούμενου.
Μπορείτε να γράψετε το \mathbb R σαν υπεραριθμήσιμη ένωση ξένων ανά δύο υπεραριθμήσιμων συνόλων;

Advertisements

11 Σχόλια »

  1. Έστω Ι ένα διάστημα της πραγματικής ευθείας.Μπορούμε να γράψουμε το Ι σαν ξένη υπεραριθμήσιμη ένωση υπεραριθμήσιμων συνόλων ως εξής:
    Κατασκευάζουμε ενα σύνολο Cantor (μέτρου μηδέν) στο Ι με το γνωστό τρόπο.Σε καθένα από τα διαστήματα που δημιουργήθηκαν στο Ι κατασκευαζουμε πάλι σύνολα Cantor μηδενικού μέτρου και επαναλαμβάνουμε αυτή τη διαδικασία.Όλα τα σύνολα που θα δημιουργηθούν είναι ξένα ανα δύο, υπεραριθμήσιμα(το καθένα σαν σύνολο) και δεν μπορεί να είναι αριθμήσιμα στο πλήθος γιατί τότε και το Ι θα είχε μέτρο 0.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από nixmtp — Φεβρουαρίου 8, 2011 @ 9:26 πμ

  2. Τι πάει λάθος με τον παραπάνω συλλογισμό ?

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από nixmtp — Φεβρουαρίου 8, 2011 @ 9:28 πμ

  3. Σε κάθε βήμα τής διαδικασίας που περιγράφεις κατασκευάζεις αριθμήσιμο πλήθος συνόλων Cantor, ένα σε κάθε διάστημα τής αριθμήσιμης οικογένειας που μένει από το προηγούμενο βήμα (το συμπλήρωμα ενός συνόλου Cantor είναι αριθμήσιμη ένωση ξένων ανά δύο διαστημάτων). Έχεις αριθμήσιμο πλήθος βημάτων, άρα καταλήγεις σε μια αριθμήσιμη οικογένεια συνόλων, η οποία δεν μπορεί να καλύπτει ολόκληρο το αρχικό διάστημα για τον λόγο που αναφέρεις.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Φεβρουαρίου 8, 2011 @ 11:01 πμ

  4. Ούτε εγω είμαι πολύ σίγουρος γι’αυτά που ακολουθούν..

    Αν το ερώτημα αναφερόταν στο \mathbb{R}^2 τότε η απάντηση θα ήταν εύκολη.
    Γράφουμε το \mathbb{R}^2 σαν ένωση ευθειών που περνούν από την αρχή των αξόνων.
    Επίσης το ίδιο μπορούμε να κάνουμε και με το (0,1) \times (0,1) , γράφοντας το
    σαν ένωση (παράλληλων) ευθυγράμμων τμημάτων.
    Ας δοκιμάσουμε να γράψουμε το (0,1) σαν υπεραριθμήσιμη ένωση ξένων ανά δύο
    υπεραριθμήσιμων συνόλων.
    Ορίζουμε απεικόνιση από το (0,1) στο (0,1)\times (0,1) ως εξής:
    Αν x \in (0,1) , θεωρούμε τη δυαδική αναπαράστασή του, x = \sum a_n 2^{-n}
    και ορίζουμε \phi (x) := ( \sum a_{2n-1} 2^{-n} , \sum a_{2n} 2^{-n} ) .
    Τότε η \phi (\cdot) είναι σχεδόν παντού 1-1 και επί (έχει πρόβλημα στην περίπτωση
    που η δυαδική αναπαράσταση δεν είναι μοναδική, αλλά τέτοια σημεία έχουν μέτρο 0, για την ακρίβεια είναι άρρητοι).
    Αν \epsilon_i , i \in I είναι οι ευθείες που διαμμερίζουν το (0,1) \times (0,1)
    τ’οτε A_i := \phi^{-1}(\epsilon_i) είναι η ζητούμενη διαμέριση του (0,1).
    Αλλά το (0,1) είναι ομοιομορφικό με κάθε διάστημα της μορφής (n, n+1) και συνεπώς
    καθέ τέτοιο διάστημα γράφεται σαν υπεραριθμήσιμη ένωση ξένων ανά δύο
    υπεραριθμήσιμων συνόλων. Από τη διαδικασία αυτή έχει ίσως περισέψει ένα αριθμήσιμο σύνολο
    το οποίο ‘κολλάμε’ σε κάποιο από τα A_i .
    Το ζητούμενο έπεται.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από henk&christos — Φεβρουαρίου 8, 2011 @ 4:14 μμ

  5. Στην 12η γραμμή, ήθελα να πω.. για την ακρίβεια είναι ρητοί!

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από henk&christos — Φεβρουαρίου 8, 2011 @ 4:16 μμ

  6. Σωστά.
    Αφού το \mathbb R είναι ισοπληθικό με το \mathbb R^2 και στο \mathbb R^2 μια τέτοια διάσπαση είναι εφικτή, είναι εφικτή και στο \mathbb R. Γενικότερα αν το A είναι ένα άπειρο σύνολο (αυθαίρετου πληθάριθμου), τότε υπάρχει ξένη οικογένεια υποσυνόλων, ισoπληθική με το A η οποία αποτελείται από σύνολα ισοπληθικά με το A και τα οποία καλύπτουν το A.

    Άλλο ένα σχετικό πρόβλημα.
    Υπάρχει υπεραριθμήσιμο υποσύνολο των πραγματικών με υπεραριθμήσιμες ξένες ανά δύο μεταθέσεις;
    Μετάθεση του S κατά x είναι το σύνολο S+x=\{s+x:s\in S\}.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Φεβρουαρίου 8, 2011 @ 5:20 μμ

  7. Επιμένω λίγο στο πρώτο ερώτημα κι αυτό γιατί νομίζω πως μπορεί κανείς να δώσει
    μια πιο κατασκευαστική απάντηση.

    Θα θέλαμε να γράψουμε το [0,1] σαν υπεραριθμήσιμη ένωση συνόλων τύπου Cantor.
    Αν το καταφέρουμε για το [0,1], τότε μπορούμε να το κάνουμε για οποιοδήποτε [n,n+1], μέσω ομοιομορφισμών.

    Θα θέλαμεε να μιμηθούμε την κατασκευή του συνολου Cantor.
    Για κάθε υποσύνολο Α του συνόλου των άρτιων αριθμών, 2\mathbb{N}= \{ e_1, e_2, ... \} ,
    ορίζουμε C_A := \{ x: x= \sum \frac{x_i}{3^i} , x_i \in \{0,1\} αν i \notin A και x_a = e_a αν a \in A  \} .
    Τα C_A (νομίζω..) είναι ξένα ανα δύο και (σίγουρα..) υπεραριθμήσιμα το πλήθος.
    Η ένωσή τους περιέχεται στο [0,1] και στην χειρότερη περίπτωση δεν καλύπτει ολόκληρο το [0,1].
    Αν περισεύει κάτι, το ‘κολλάμε’ σε κάποιο εκ των C_A .

    Βγάζουν νόημα τα παραπάνω ;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από henk&christos — Φεβρουαρίου 8, 2011 @ 9:29 μμ

  8. Αν και τώρα που το ξανασκέφτομαι νομίζω πως το άνω επιχείρημα δεν έχει και πολλές ελπίδες,
    ξαναγράφω το κομμάτι που δεν »κάνει parse»..

    Το σύνολο τύπου Cantor είναι το
    C_A := \{ x : x = \sum \frac{x_i}{3^i} , x_i \in \{0,1\}, i \notin A \& x_i = e_i , i \in A \}

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από henk&christos — Φεβρουαρίου 8, 2011 @ 10:28 μμ

  9. Το πρόβλημα είναι να δείξεις ότι τα σύνολα είναι ξένα (αν είναι).
    Πάντως η ιδέα να χρησιμοποιηθούν σύνολα τύπου Cantor, όχι αναγκαστικά τα συγκεκριμένα που ορίζονται στο σχόλιο (1) ή στο σχόλιο (7), θα δώσει τη λύση…

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Φεβρουαρίου 8, 2011 @ 10:53 μμ

  10. Για το πρώτο ερώτημα μια ιδέα (παρόμοια με αυτή του σχολίου (7) ) με σύνολα τύπου Cantor.
    Θέτουμε I=\{S : \; S \subseteq \mathbb{N} , \; Card(S) = \infty \} και A_S=\{ x\in (0,1) : x=0,a_1a_2a_3\ldots με a_i\in \{1,2\} αν i\in S και a_i\in \{3,4\} αν i\notin S, S\in I \}, δηλαδή x\in A_S αν στη δεκαδική παράσταση του x το i δεκαδικό ψηφίο είναι 1 η 2 όταν i\in S και 3 η 4 όταν i\notin S . Αν S\in I τότε το A_S είναι υπεραριθμήσιμο(με διαγώνιο επιχείρημα Cantor)΄ το I είναι υπεραριθμήσιμο και \forall S_1,S_2\in I με S_1\neq S_2 \;\; A_{S_1}\cap A_{S_2} = \emptyset (Αφού η άπειρη δεκαδική παράσταση ενός αριθμού είναι μοναδική) . Τέλος \bigcup_{S\in I}A_S \subseteq (0,1) . Αν A= \mathbb{R} - (\bigcup_{S\in I}A_S) τότε \mathbb{R}= A\cup (\bigcup_{S\in I}A_S).
    Ισχύει το ίδιο αν I=P(\mathbb{N}) αλλά για ευκολία το επιλέξαμε διαφορετικά.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από pamp0s — Φεβρουαρίου 18, 2011 @ 12:09 μμ

  11. Σωστά.
    Η μοναδικότητα εξασφαλίζεται από το ότι δεν εμφανίζονται 99999999…

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Φεβρουαρίου 18, 2011 @ 12:32 μμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Δημιουργήστε ένα δωρεάν ιστότοπο ή ιστολόγιο στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: