Προβλήματα Μαθηματικών

Φεβρουαρίου 4, 2011

Πιθανότητες, ευθείες, σημεία και γωνίες

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 1:26 μμ

Έστω ότι στο επίπεδο μπορούμε να επιλέξουμε σχήματα με κάποια πιθανότητα. Δηλαδή τα ενδεχόμενα είναι υποσύνολα τού \mathbb R^2. Υποθέτουμε ότι η πιθανότητα να επιλέξουμε οποιοδήποτε σημείο είναι μηδέν. Δείξτε ότι υπάρχει \theta έτσι ώστε η πιθανότητα να επιλέξουμε οποιαδήποτε ευθεία η οποία κάνει γωνία \theta με τον άξονα x, είναι μηδέν.

Advertisements

11 Σχόλια »

  1. Κάπως επιφυλακτικά, μια ιδέα είναι η εξής:

    Υποθέστε ότι το συμπέρασμα δεν ισχύει και άρα, για κάθε \theta \in [0,\pi] , υπάρχει ευθεία που κάνει γωνία θ με τον άξονα x και η πιθανότητα να την επιλέξουμε είναι γνήσια θετική.
    Έστω A_{\theta} το ενδεχόμενο να επιλέξουμε ευθεία που κάνει γωνία θ με τον x-άξονα.
    Τότε τα A_{\theta} είναι ξένα, υπεραριθμήσιμα το πλήθος ενδεχόμενα με θετική πιθανότητα.
    Αυτό δεν μπορεί να συμβεί.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από henk&christos — Φεβρουαρίου 4, 2011 @ 5:42 μμ

  2. Μάλλον πρέπει να πω και δυο λόγια σχετικά με το γιατί ‘αυτό’ δεν μπορεί να συμβεί..

    Για n \in \mathbb{N} έστω \Pi_n := \{ A_{\theta} : \mathbb{P}[A_{\theta}] > 1/n\} .
    κάθε A_{\theta} ανήκει σε κάποιο \Pi_n και άφού είναι υπεραριθμήσιμα το πλήθος
    θα υπάρχει κάποιο N τ.ω. \Pi_N να περιέχει υπεραριμήσιμα το πλήθος A_{\theta} .
    Άν I είναι κάποιο αριθμήσιμο υποσύνολο των A_{\theta} που ανήκουν στο \Pi_N έχουμε
    1 = \mathbb{P}[\mathbb{R}^2] \geq \mathbb{P}[\cup_{I} A_{\theta_I} ] = \sum \mathbb{P}[A_{\theta}] > \sum 1/N = \infty .

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από henk&christos — Φεβρουαρίου 4, 2011 @ 6:56 μμ

  3. Ίσως η τελευταία γραμμή στο άνω σχόλιο θα έπρεπε να αρχίζει ως εξής
    1 = \mathbb{P}[\mathcal{P}\mathbb{R}^2] \geq ...

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από henk&christos — Φεβρουαρίου 4, 2011 @ 8:39 μμ

  4. Σωστά.
    Με τον τρόπο όμως που είναι διατυπωμένη η λύση δεν φαίνεται να χρησιμοποιείται κάπου το γεγονός ότι η πιθανότητα των σημείων είναι μηδέν. (Δεν χρειάζεται η τροποποίηση που λες στο προηγούμενο σχόλιο).

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Φεβρουαρίου 4, 2011 @ 8:46 μμ

  5. Αν καταλαβαίνω τι εννοείτε, θα έπρεπε να πούμε το εξής:

    για κάθε \theta \in [0,\pi] επιλέγουμε μία ευθεία (από τις πολλές ίσως διαθέσιμες) που κάνει γωνία θ με τον x-άξονα
    και έχει θετική πιθανότητα και ορίζουμε A_{\theta} το ενδεχόμενο να επιλέξουμε την ευθεία που αντιστοιχεί στο θ.
    Για διαφορετικά θ, θ’, οι ευθείες των A_{\theta} , A_{\theta'} τέμνονται το πολύ σε ένα σημείο και άρα το μέτρο
    αριθμήσιμης ένωσης κάποιων εξ’αυτών θα ισούται με το άθροισμα των μέτρων τους.
    Από το σχόλιο 2, έχουμε πως αριθμήσιμα το πλήθος εκ των A_{\theta} θα έχουν μέτρο μεγαλύτερο του 1/Ν, για κάποιο Ν.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από henk&christos — Φεβρουαρίου 4, 2011 @ 9:22 μμ

  6. Ναι ακριβώς. Τα «ενδεχόμενα» είναι οι ευθείες.
    Στην προκειμένη περίπτωση «επιλέγω» ένα σχήμα, σημαίνει «πυροβολώ και η σφαίρα χτυπάει το σχήμα»

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Φεβρουαρίου 4, 2011 @ 9:28 μμ

  7. Παρατηρήστε επίσης ότι το προηγούμενο επιχείρημα δείχνει ότι το σύνολο των \theta για τα οποία υπάρχει ευθεία θετικής πιθανότητας στην κατεύθυνση \theta είναι το πολύ αριθμήσιμο. Έτσι στην πραγματικότητα, όλες οι ευθείες εκτός ίσως από κάποια αριθμήσιμη οικογένεια, έχουν μηδενική πιθανότητα.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Φεβρουαρίου 4, 2011 @ 10:11 μμ

  8. Δουλεύει το επιχείρημα στην περίπτωση που το »πείραμα» δεν γίνεται στο επίπεδο, αλλά σε τετράγωνο
    ή σε κυρτό σώμα και οι ευθείες αντικατασταθούν από ευθύγραμμα τμήματα ;
    Θα έλεγα ναι. Αλλά ίσως κάτι μου διαφεύγει..

    Υπάρχει μονοδιάστατο ανάλογο;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από henk&christos — Φεβρουαρίου 4, 2011 @ 11:28 μμ

  9. Το επιχείρημα δουλεύει οποτεδήποτε έχεις μια οικογένεια συνόλων τα οποία ανά δύο τέμνονται σε το πολύ αριθμήσιμο πλήθος σημείων. Έτσι σίγουρα μπορείς να περιορίσεις το επίπεδο και τις ευθείες. Ή να αντικαταστήσεις τις ευθείες με άλλα σχήματα, για παράδειγμα, με κύκλους.
    Τώρα στη μια διάσταση, μια οικογένεια συνόλων με την παραπάνω ιδιότητα αποκλείεται να αποτελείται από «ωραία» σύνολα, εκτός και αν είναι τα ίδια αριθμήσιμα.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Φεβρουαρίου 5, 2011 @ 1:00 πμ

  10. Μόλις λύσατε το πρόβλημα »Απυρόβλητοι κύκλοι»..

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από henk&christos — Φεβρουαρίου 5, 2011 @ 2:46 πμ

  11. Το είχα ξεχάσει!

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Φεβρουαρίου 5, 2011 @ 10:22 πμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Δημιουργήστε ένα δωρεάν ιστότοπο ή ιστολόγιο στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: