Προβλήματα Μαθηματικών

Ιανουαρίου 28, 2011

Άρρητοι αριθμοί

Υπάρχει κλειστό σύνολο άρρητων αριθμών χωρίς μεμονωμένα σημεία;

Advertisements

5 Σχόλια »

  1. Το πρόβλημα θα έχει λυθεί αν μπορέσουμε να βρούμε τέλειο σύνολο αρρήτων.
    Αυτό μου θυμίζει την άσκηση 18 από το 2ο κεφάλαιο του βιβλιου του Rudin
    την οποία μπορώ να λύσω με χρήση της άσκησης 28 (του ίδιου κεφαλαίου, την οποία δε μπορώ να λυσω).
    Η άσκηση 28 λέει πως κάθε κλειστό σύνολο σε διαχωρίσιμο χώρο είναι η ένωση ενός (πιθανώς κενού)
    τέλειου συνόλου και ενός συνόλου που είναι το πολυ αριθμήσιμο.

    Αφού το \mathbb{Q} έχει μέτρο μηδέν υπάρχει ακολουθία ανοικτών διαστημάτων τέτοια ώστε
    \mathbb{Q} \subseteq \cup_n I_n και \sum_n |I_n| < \epsilon .
    Τότε S:= \mathbb{R} \setminus \cup_n I_n είναι κλειστό και αποτελείται μόνο από άρρητους και είναι υπεραριθμήσιμο.
    Η άσκηση 28 μας δίνει το ζητούμενο.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από henk&christos — Ιανουαρίου 29, 2011 @ 4:09 μμ

  2. Σωστά.
    Κάποια ιδέα για την «άσκηση 28»;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Ιανουαρίου 29, 2011 @ 5:07 μμ

  3. Ακολουθούμε τον Rudin και τις υποδείξεις των ασκήσεων 27,28, αποδεικνύοντας
    το θεώρημα Cantor-Bendixson: Κάθε κλειστό υποσύνολο του \mathbb{R} είναι
    η ένωση ενός (πιθανώς κενού) τέλειου συνόλου κι ενός το πολύ αριθμησίμου συνόλου.

    Καλούμε σημείο συμπύκνωσης ενός συνόλου E \subseteq \mathbb{R} κάθε σημείο
    του οποίου κάθε περιοχή περιέχει υπεραριθμήσιμα το πλήθος σημεία του E .

    Αν E \subseteq \mathbb{R} είναι υπεραριθμήσιμο και P το σύνολο των
    σημείων συμπύκνωσής του, τότε το P είναι τέλειο και το πολύ αριθμήσιμα το πλήθος
    σημεία του Ε δεν ανήκουν στο Ρ. Δηλ. P^{c} \cap E είναι το πολύ αριθμήσιμο.
    Πράγματι,
    Έστω \{ V_n \}_n μια αριθμήσιμη βάση του \mathbb{R} και έστω W η ένωση
    εκέινων των \{ V_n \}_n για τα οποία E\cap V_n είναι το πολύ αριθμήσιμο.
    Θα δείξουμε ότι P = W^{c} . Το Ρ είναι τέλειο εξ’ορισμού.
    Έστω x \in W^{c} = \cap_{i} V_i^{c} . Αν x \notin P . Υπάρχει ε>0 τέτοιο
    ώστε το ε-διάστημα γύρω από το x να περιέχει το πολύ αριθμήσιμα το πλήθος σημεια του Ε.
    Όμως το ε-διάστημα, ως ανοικτό, γράφεται σαν την ένωση συνόλων V_{n_1}, V_{n_2},\ldots , που μας δινει οτι
    \cup V_{n_i} περιέχει αριθμήσιμα το πλήθος στοιχεία του Ε και άρα κάθε ένα από τα V_{n_i}
    περιέχει το πολύ αριθμήσιμα στοιχεία του Ε. Αυτό έρχεται σε αντίφαση με το ότι x \in W^{c} .
    Αν x \in P αλλά x \notin W^{c} τότε υπάρχει V_k που περιέχει το x ώστε V_k \cap E είναι
    το πολύ αριθμήσιμο. Εντός του V_k μπορούμε να βρούμε ένα διάστημα που περιέχει το x
    και έχει υπεραριθμήσιμη τομή με το Ε, αφού το x ανήκει στο Ρ. Άτοπο!

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από henk&christos — Ιανουαρίου 30, 2011 @ 12:28 πμ

  4. Έστω Ε είναι κλειστό υποσύνολο των πραγματικών.
    Αν το Ε είναι το πολύ αριθμήσιμο, το θεώρημα Cantor-Bendixson έπεται από το άνω σχόλιο.
    Έστω οπότε πως το Ε είναι υπεραριθμήσιμο.
    Έστω Ρ το σύνολο των σημειων συμπύκνωσής του. Τότε το Ρ είναι τέλειο και αφού το Ε είναι κλειστό
    έπεται πως P \subseteq E και πως το πολύ αριθμήσιμα το πλήθος
    στοιχεια του Ε δεν ανήκουν στο Ρ. άρα E = P \cup N όπου Ν είναι το πολύ αριθμήσιμο.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από henk&christos — Ιανουαρίου 30, 2011 @ 12:34 πμ

  5. Σωστά.
    Στην περίπτωση τού \mathbb R, μια (τελείως ισοδύναμη με αυτή τού Χρήστου) απόδειξη θα μπορούσε να διατυπωθεί ως εξής.
    Έστω N το σύνολο των μεμονωμένων σημείων τού E. Τότε για κάθε x\in N υπάρχει ένα διάστημα (p_x,q_x) με ρητά άκρα τέτοιο ώστε
    (p_x,q_x)\cap E=\{x\}. Αλλά τότε η απεικόνιση που στέλνει το x στο (p_x,q_x) είναι 1-1, άρα το N είναι το πολύ αριθμήσιμο, αφού η οικογένεια των ανοιχτών διαστημάτων με ρητά άκρα είναι αριθμήσιμη.
    Έτσι, αν το E είναι κλειστό και υπεραριθμήσιμο, τότε αφαιρώντας το N παίρνουμε ένα (μη κενό) κλειστό σύνολο χωρίς μεμονωμένα σημεία.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Ιανουαρίου 30, 2011 @ 1:10 πμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Blog στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: