Προβλήματα Μαθηματικών

Δεκέμβριος 18, 2010

Όριο ακολουθίας

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 7:26 μμ

Αν η f είναι συνεχής, βρείτε το όριο τής ακολουθίας

\displaystyle\frac1n\int_0^1x^{\frac1n-1}f(x)\, dx.

Advertisements

4 Σχόλια »

  1. Η f είναι συνεχής στο [0,1] και άρα φραγμένη από κάποιο M.
    Επίσης \int_{0}^{1} x^{\frac{1}{n}-1} = \lim_{\epsilon \rightarrow 0^{+}}  \int_{\epsilon}^{1} x^{\frac{1}{n}-1} = 1.
    Συνεπώς το όριο είναι μηδέν.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από henk&christos — Δεκέμβριος 19, 2010 @ 12:46 πμ

  2. Μάλλον έκανες κάπου λάθος στις πράξεις.
    \displaystyle\int_0^1x^{\frac1n-1}\, dx=n

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Δεκέμβριος 19, 2010 @ 1:01 πμ

  3. Και απορούσα πως γινεται να ειναι τοσο ευκολό.
    Θα κάνω μια ακομη προσπάθεια.
    Το όριο ισούται με f(0).
    Η βασική παρατήρηση ειναι πως αν p(\cdot): [0,1]\rightarrow \mathbb{R}
    είναι πολυώνυμο, τότε \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{n}\int_{0}^{1} x^{1/n -1} p(x)\, dx = p(0).
    Αφού η f είναι συνεχής, υπάρχει ακολουθία πολυωνύμων \{ p_{m}(\cdot)\}_{m=1}^{\infty}
    που συγκλίνει στην f(\cdot) ομοιόμορφα.
    Οπότε, έχουμε πως για κάθε m,n \geq 1 ισχύει
    |\frac{1}{n}\int_{0}^{1} x^{1/n -1} f(x)\, dx - f(0)|\leq |\frac{1}{n}\int_{0}^{1} x^{1/n -1} f(x) dx  -\frac{1}{n}\int_{0}^{1} x^{1/n -1} p_m(x)dx| + | \frac{1}{n}\int_{0}^{1} x^{1/n -1} p_m(x)dx - f(0) | \leq
    \sup_{x\in [0,1]}| f(x)- p_m(x)| +|\frac{1}{n}\int_{0}^{1} x^{1/n -1} p_m(x)dx - f(0) | \rightarrow  \sup_{x\in [0,1]}| f(x)- p_m(x)|-|p_m(0)-f(0)|,
    του n \rightarrow \infty, κι αυτό ισχύει για κάθε m \geq 1.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από henk&christos — Δεκέμβριος 19, 2010 @ 2:57 πμ

  4. Σωστά.
    Εναλλακτικά, μπορεί κανείς να παρατηρήσει ότι
    \displaystyle\frac1n\int_0^1x^{\frac1n-1}f(x)\, dx=\int_0^1f(x^n)\, dx, και ότι x^n\to0 ομοιόμορφα σε κάθε κλειστό υποδιάστημα που δεν περιέχει το 1.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Δεκέμβριος 19, 2010 @ 11:45 πμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Blog στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: