Προβλήματα Μαθηματικών

Δεκέμβριος 3, 2010

Διαδοχικές παράγουσες

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 11:55 μμ

Έστω f μια συνεχής συνάρτηση στο \mathbb R, και έστω f_1 μια παράγουσα τής f, f_2 μια παράγουσα τής f_1, … , f_{k+1} μια παράγουσα τής f_k κ.ο.κ. Δείξτε ότι αν για κάθε x υπάρχει k τέτοιο ώστε f_k(x)=0, τότε η f είναι ταυτοτικά ίση με μηδέν.

Advertisements

2 Σχόλια »

  1. Υποθέστε ότι η f(\cdot) δεν ειναι ταυτοτικκα μηδέν.
    Έστω, χ.π.γ., ότι υπάρχει x ώστε f(x) > 0.
    Από τη συνέχεια της f(\cdot) υπάρχει (μη-κενό) κλειστό διάστημα I
    που περιέχει το x για το όποιο f(t) > 0 , \forall t \in I.
    Από την υπόθεση έχουμε I = \bigcup_{k=1}^{\infty}\{x\in I : f_k(x)=0\}
    και το Θεώρημα του Baire μας δίνει την ύπαρξη κάποιου k
    ώστε το σύνολο {x\in I : f_k(x)=0} να έχει μη-κενό εσωτερικό.
    Δηλαδή, υπάρχει ανοικτό υποδιάστημα του I στο οποίο
    η f_k(\cdot) μηδενίζεται και άρα θα μηδενίζεται
    και οποιαδήποτε παράγωγός της. Άτοπο!

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από henk&christos — Δεκέμβριος 5, 2010 @ 2:12 πμ

  2. Σωστά.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Δεκέμβριος 5, 2010 @ 12:18 μμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Δημιουργήστε ένα δωρεάν ιστότοπο ή ιστολόγιο στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: